This item is deleted.

== Požadavky znalostí ke státní závěrečné zkoušce ==
Grupa, okruh, těleso - definice a příklady. Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál. Homomorfismy grup. Dělitelnost a ireducibilní rozklady polynomů. Rozklady polynomů na kořenové činitele pro polynom s reálnými, racionálními, komplexními koeficienty. Násobnost kořenů a jejich souvislost s derivacemi mnohočlenu.

== Definice ==
=== Grupa ===
''Grupa'' je algebra vybavená jendou binární, jednou unární (inverzní k binární) a jednou nulární (neutrální prvek) operací. Dá se tedy psát G(*,<sup>-1</sup>,1). [Alternativně se značí (G,*), protože binární operace už neutrální prvek i inverzní operaci určuje.]

K tomu se hodí poznamenat co je algebra. ''Algebra'' je množina vybavená systémem operací &alpha;<sub>i</sub>, <math>A(\alpha_i | i \in I)</math>.

''Podgrupa'' je podalgebra grupy. Jinými slovy <math>(F,*)</math> je podalgebra <math>(G,*)</math>, pokud <math>F \subseteq G</math> a * je na F uzavřená. ''Uzavřenost operace &alpha; na algebře A'' znamená, že platí <math>a,b \in A \Rightarrow \alpha(a,b) \in A</math>.
Dlužno podotknout, že obě operace * nejsou zcela totožné. Formálně by se mělo uvádět např. *<sub>F</sub> a *<sub>G</sub>. Přičemž platí <math>*_F = *_G \uparrow_F</math>. Tento podivný zápis znamená ''restrikci zobrazení'', tedy jednoduše řečeno, vezmu *<sub>G</sub> a použiji jen tu část, která má smysl na množině F. Zpravidla se ale obě operace značí stejně, pokud nehrozí omyl.

''Normální podgrupa'' H grupy G je definována předpisem <math>H \subseteq G,\, \forall h \in H, \forall g \in G: ghg^{-1} \in H</math>

''Faktorgrupa'' H podle ekvivalence &rho; je grupa (H/&rho;, *<sub>&rho;</sub>). Opět únik k definicím, faktormnožina <math>A/\rho = \{[a]_\rho | a \in A \}</math>. Operace na faktormnožině je pak definována jako <math>\alpha([a]_\rho,[b]_\rho) = [\alpha(a,b)]_\rho</math>.

[[Image:Faktoralgebra.jpg]]

[[Image:OperaceNaFaktorAlgebre.jpg]]

''Okruh'' R je algebra s dvěmi binárními operacemi, inverzní k jedné z nich a dvěmi neutrálními operacemi k oběma bnárním operacím. Navíc platí distributivita:

<math>R(+,*,-,0,1): a(b+c) = ab + ac, \qquad (b+c)a = ba + ca</math>

Například celá čísla, sčítání (inverz odečítání, neutrální nula) a násobení (neutrální operace je jednička).

''Ideál'' I je podgrupou (I,*) okruhu (R,+,*) pro kterou platí <math>\forall i \in I, \forall r \in R: ir \in I \wedge ri \in I</math>.

[[Image:Ideal.jpg]]

[[Image:Vlastni ideal.jpg]]

== Věty ==
Nechť (G,*) je grupa a &rho; relace na G. Pak &rho; je kongruence na (G,*) právě tehdy, když <math>[1]_\rho</math> je normální podgrupa G a <math>(g,h)\in\rho \Longleftrightarrow g^{-1} h \in [1]_\rho</math>