This item is deleted.
Požadavky znalostí ke státní závěrečné zkoušce
Grupa, okruh, těleso - definice a příklady. Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál. Homomorfismy grup. Dělitelnost a ireducibilní rozklady polynomů. Rozklady polynomů na kořenové činitele pro polynom s reálnými, racionálními, komplexními koeficienty. Násobnost kořenů a jejich souvislost s derivacemi mnohočlenu.
Definice
Grupa
Grupa je algebra vybavená jendou binární, jednou unární (inverzní k binární) a jednou nulární (neutrální prvek) operací. Dá se tedy psát G(*,-1,1). [Alternativně se značí (G,*), protože binární operace už neutrální prvek i inverzní operaci určuje.]
K tomu se hodí poznamenat co je algebra. Algebra je množina vybavená systémem operací αi, <math>A(\alpha_i | i \in I)</math>.
Podgrupa je podalgebra grupy. Jinými slovy <math>(F,*)</math> je podalgebra <math>(G,*)</math>, pokud <math>F \subseteq G</math> a * je na F uzavřená. Uzavřenost operace α na algebře A znamená, že platí <math>a,b \in A \Rightarrow \alpha(a,b) \in A</math>.
Dlužno podotknout, že obě operace * nejsou zcela totožné. Formálně by se mělo uvádět např. *F a *G. Přičemž platí <math>*_F = *_G \uparrow_F</math>. Tento podivný zápis znamená restrikci zobrazení, tedy jednoduše řečeno, vezmu *G a použiji jen tu část, která má smysl na množině F. Zpravidla se ale obě operace značí stejně, pokud nehrozí omyl.
Normální podgrupa H grupy G je definována předpisem <math>H \subseteq G,\, \forall h \in H, \forall g \in G: ghg^{-1} \in H</math>
Faktorgrupa H podle ekvivalence ρ je grupa (H/ρ, *ρ). Opět únik k definicím, faktormnožina <math>A/\rho = \{[a]_\rho | a \in A \}</math>. Operace na faktormnožině je pak definována jako <math>\alpha([a]_\rho,[b]_\rho) = [\alpha(a,b)]_\rho</math>.
Image:OperaceNaFaktorAlgebre.jpg
Okruh R je algebra s dvěmi binárními operacemi, inverzní k jedné z nich a dvěmi neutrálními operacemi k oběma bnárním operacím. Navíc platí distributivita:
<math>R(+,*,-,0,1): a(b+c) = ab + ac, \qquad (b+c)a = ba + ca</math>
Například celá čísla, sčítání (inverz odečítání, neutrální nula) a násobení (neutrální operace je jednička).
Ideál I je podgrupou (I,*) okruhu (R,+,*) pro kterou platí <math>\forall i \in I, \forall r \in R: ir \in I \wedge ri \in I</math>.
Věty
Nechť (G,*) je grupa a ρ relace na G. Pak ρ je kongruence na (G,*) právě tehdy, když <math>[1]_\rho</math> je normální podgrupa G a <math>(g,h)\in\rho \Longleftrightarrow g^{-1} h \in [1]_\rho</math>