=Sylabus=
''Maxwellovy rovnice a jejich základní důsledky Elektromagnetické potenciály a jejich vlastnosti. Zákony zachování v teorii elektromagnetického pole. Vlastnosti stacionárních, kvazistacionárních a nestacionárních polí. ''
=Soustava Maxwellových rovnic=
K popisu elektromagnetického pole slouží veličiny intenzita elektrického pole <math>\mathbf{E}</math>, elektrická indukce <math>\mathbf{D}</math>, intenzita magnetického pole <math>\mathbf{H}</math> a magnetická indukce <math>\mathbf{B}</math>. Tyto veličiny jsou spolu svázány soustavou Maxwellových rovnic.
===Diferenciální tvar===
Maxwellovy rovnice lze zapsat v diferenciálním tvaru následujícím způsobem:
<br/> <math> \mathrm{div}\, \mathbf{D}=\rho </math>
<br/> <math> \mathrm{rot}\, \mathbf{H}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}</math>
<br/> <math> \mathrm{rot}\, \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math>
<br/> <math> \mathrm{div}\, \mathbf{B}=0</math>
První dvě rovnice popisují vztah mezi nábojovou hustotou <math>\rho </math>, hustotou volných proudů <math>\mathbf{j}</math> a vektory elektromagnetického pole <math>\mathbf{D}</math> a <math>\mathbf{H}</math>. Poslední dvě rovnice udávají obecně platné vlastnosti vektorů <math>\mathbf{E}</math> a <math>\mathbf{B}</math>.
===Integrální tvar===
V integrálním tvaru nabývají Maxwellovy rovnice podoby (<math>Q</math> je volný náboj v objemu ohraničeném plochou <math>S</math> a <math>I</math> je proud protékající po uzavřené křivce <math>l</math>):
<br/> <math> \oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=Q</math>
<br/> <math> \oint_{l}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I+\int_{S}\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}</math>
<br/> <math> \oint_{l}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\int_{S}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}</math>
<br/> <math> \oint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=0</math>
První rovnice odpovídá Gaussovu zákonu, druhá představuje zobecněný Ampérův zákon, třetí reprezentuje Faradayův indukční zákon a čtvrtá vyjadřuje neexistenci magnetických nábojů.
=Elektromagnetické potenciály=
===Zavedení potenciálů===
Pro řešení Maxwellových rovnic je výhodné následujícím způsobem zavést vektorový potenciál <math>\mathbf{A}</math> a skalární potenciál <math>\varphi </math>:
<br/> <math> \mathbf{B}=\mathrm{rot}\, \mathbf{A}</math>
<br/> <math> \mathbf{E}=-\mathrm{grad}\, \varphi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}</math>
Zavedení <math>\mathbf{A}</math> podle prvního vztahu umožňuje poslední z Maxwellových rovnic, druhý vztah lze získat dosazením prvního do třetí Maxwellovy rovnice.
===Kalibrační transformace===
Potenciály <math>\mathbf{A}</math> a <math>\varphi </math> nejsou určeny jednoznačně a je tedy možné přejít k jiným pomocí kalibrační transformace
<br/> <math> \varphi'=\varphi -\frac{\partial \psi }{\partial t}</math>
<br/> <math> \mathbf{A}'=\mathbf{A}+\mathrm{grad}\, \psi ,</math>
<br/>aniž by přitom došlo ke změně <math>\mathbf{E}</math> a <math>\mathbf{B}</math>. Elektromagnetické pole je tedy kalibračně invariantní.
===Lorentzova podmínka===
Kalibrační transformace umožňují takovou volbu potenciálů, při které je splněna Lorentzova podmínka
<br/> <math> \mathrm{div}\, \mathbf{A}+\epsilon \mu \frac{\partial \varphi }{\partial t}=0,</math>
<br/>kde <math>\epsilon </math> značí permitivitu a <math>\mu </math> permeabilitu vystupující v (lineárních) materiálových vztazích. Zavedené potenciály lze s využitím materiálových vztahů dosadit do prvních dvou Maxwellových rovnic a díky této podmínce je možné po úpravách získat vlnovou rovnici
<br/> <math> \Delta \varphi -\epsilon \mu \frac{{\partial }^{2}\varphi }{\partial {t}^{2}}=-\frac{\rho }{\epsilon }</math>
<br/> <math> \Delta \mathbf{A}-\epsilon \mu \frac{{\partial }^{2}\mathbf{A}}{\partial {t}^{2}}=-\mu \mathbf{j}</math>
=Zákony zachování=
=Elektrostatika=
=Stacionární pole=
===Maxwellovy rovnice pro stacionární pole===
Ve stacionárním stavu jsou všechny makroskopické veličiny časově nezávislé. V tomto případě nabývají Maxwellovy rovnice tvaru:
<br/> <math> \mathrm{div}\, \mathbf{D}=\rho </math>
<br/> <math> \mathrm{rot}\, \mathbf{H}=\mathbf{j}</math>
<br/> <math> \mathrm{rot}\, \mathbf{E}=0</math>
<br/> <math> \mathrm{div}\, \mathbf{B}=0</math>
Prostorové rozložení nábojů je popsáno časově konstantní nábojovou hustotou <math>\rho </math>. Na rozdíl od elektrostatiky však mohou náboje konat makroskopický pohyb, kterému odpovídá časově neproměnná proudová hustota <math>\mathbf{j}</math>.
===Ohmův zákon===
Další odlišnost od elektrostatiky představuje existence nenulového elektrického pole uvnitř vodičů, kterými protéká proud. Úměru mezi proudovou hustotou a intenzitou elektrického pole v daném vodiči o měrné vodivosti <math>\gamma </math> vyjadřuje diferenciální tvar Ohmova zákona:
<br/> <math> \mathbf{j}=\gamma \mathbf{E}</math>
Měrná vodivost je spojena s měrným odporem <math>\sigma </math> vztahem
<br/> <math> \gamma =\frac{1}{\sigma }</math>
Odpor <math>R</math> vodiče délky <math>l'</math> a průřezu <math>S'</math> udává výraz
<br/> <math> R=\sigma \frac{l'}{S'}</math>
Vyjádřením elektrického proudu
<br/> <math> I=\int_{S'}\mathbf{j}\cdot d\mathbf{S}'</math>
<br/>a napětí
<br/> <math> U=\int_{\left(1\right)}^{\left(2\right)}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}'={\varphi }_{1}-{\varphi }_{2}</math>
<br/>lze zapsat Ohmův zákon ve tvaru
<br/> <math> I=\frac{U}{R}</math>
===Vhodné vztahy===
Pro řešení úloh lze v případě stacionárního pole vhodně užít Gaussův zákon (viz výše), Ampérův zákon ve tvaru
<br/> <math> \oint_{l}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I</math>
<br/>a Biot-Savartův vzorec
<br/> <math> \mathbf{B}\left(\mathbf{r}\right)=\frac{\mu }{4\pi }\int_{V}\frac{\mathbf{j}\left(\mathbf{r}'\right)\times \mathbf{R}}{{R}^{3}}dV',</math>
<br/>kde <math>\mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}'</math>, integrační proměnná je <math>\mathbf{r}'</math> a integruje se přes objem <math>V</math>.
=Kvazistacionární pole=
===Maxwellovy rovnice pro kvazistacionární pole===
Kvazistacionární přiblížení je vhodné pro studium časově proměnného elektrického a magnetického pole za předpokladu dostatečně pomalých změn rozložení nábojů, tedy
<br/> <math> \mathbf{j}>>\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}</math>
Maxwellovy rovnice tak mají podobu:
<br/> <math> \mathrm{div}\, \mathbf{D}=\rho </math>
<br/> <math> \mathrm{rot}\, \mathbf{H}=\mathbf{j}</math>
<br/> <math> \mathrm{rot}\, \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math>
<br/> <math> \mathrm{div}\, \mathbf{B}=0</math>
===Elektromagnetická indukce===
Jak je patrné, oproti stacionárnímu přiblížení je zde již uvažován jev elektromagnetické indukce. Pro indukované elektromotorické napětí <math>{U}_{F}</math> ve vodivé smyčce, kterou prochází (časově proměnný) magnetický indukční tok <math>\Psi </math>, platí Faradayův indukční zákon
<br/> <math> {U}_{F}=-\frac{d\Psi }{dt}</math>
Skutečnost, že směr indukovaného proudu ve smyčce je takový, že jím vytvořené magnetické pole se snaží kompenzovat změny toku způsobující vznik indukovaného proudu, se nazývá Lenzovo pravidlo.
V případě smyčky o ploše <math>S''</math> nehybné vzhledem k laboratorní soustavě (a neměnící svou geometrii) lze psát
<br/> <math> {U}_{F}=-\int_{S''}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}''</math>
===Vhodné vztahy===
Při řešení úloh lze v případě kvazistacionárního pole postupovat podobně jako ve stacionárním přiblížení, ovšem Ohmův zákon je nutné doplnit o indukované elektromotorické napětí <math>{U}_{F}</math>, resp. odpovídající indukovanou vtištěnou intenzitu elektrického pole <math>{\mathbf{E}}_{F}^{\star }</math>.
=Nestacionární pole=