Diff for ''

Deletions are marked like this.	Additions are marked like this.
Line 1:	Line 1:
Oficiální stránky [http://ktv.mff.cuni.cz/ katedry tělesné výchovy], konkrétní sporty viz. níže.	# Linearní algebra - pomoc s otázkami
Line 3:	Line 3:
= Historický šerm = * klub historického šermu se zaměřením na volný bojový šerm Duelanti od svatého Rocha přijímá nováčky * cvičí se 2x týdně pondělí a středa od 20:00 v tělocvičně ZŠ Lupáčova, Olšanské náměstí Žižkov * první měsíc bývá zdarma, potom cca 500kč / měsíc, pro nováčky se na první půlrok najde i nějaký ten meč * kontakt: https://www.facebook.com/duelanti/	<{ForumPost(poster="-tom@s-", timestamp=2009-11-14 14:52:23)}> Ahoj, prosím o pomoc s těmito otázkami, v tomto předmětu úplně plavu a vůbec ho nepobíram :( snažím se neco vyčíst na netu ale je to marný, prosím odpověď alespoň na něco. vřelé díky..       **Polynomy ** 1. Proč kořenový činitel dělí polynom beze zbytku. 2. Proč celočíselný kořen polynomu s celočíselnými koeficienty dělí a0. 3. Dokažte, že ke každému kořenu polynomu s reálnými koeficienty existuje kořen komplexně sdružený. 4. Proč ke každým dvěma polynomům p, q (q nenulový) je určen částečný podíl a zbytek jednoznačně? 5. Nechť má polynom an = 1 a má jen reálné nebo po dvou komplexně sdružené kořeny. Proč pak má všechny koeficienty reálné? 6. Proč polynom lichého stupně s reálnými koeficienty musí mít alespoň jeden reálný kořen? 7. Proč nemůže mít polynom stupně n více než n vzájmeně různých kořenů? 8. Proč je polynom stupně n určen jednoznačně svými hodnotami v n + 1 různých bodech?    **Lineární prostor ** 9. Odvoďte z axiomů linearity (v definici lineárního prostoru) vlastnosti: a) x + o = x, b) αo = o pro x libovolný prvek lineárního prostoru, o nulový prvek a α∈ R. 10. Ověřte podrobně, že Rn s obvyklým +, · tvoří lineární prostor. 11. Ukažte, že množina nekonečných posloupností s + a · definovaným „po složkáchÿ tvoří LP. 12. Proč je množina všech posloupností s limitou=0 lineárním podprostorem LP všech posloupností? 13. Proč množina M = {(a, b, c, d), |a| = |b|, |c| = |d|} není podprostorem R4? 14. Zdůvodněte, proč průnik lineárních podprostorů je lineární podprostor a sjednocení lineárních pod-prostorů nemusí být lineární podprostor.    **Lineární závislost, obal, báze ** 15. Zdůvodněte podrobně z axiomů linearity, proč triviální lineární kombinace je rovna nulovému vektoru. 16. Proč přítomnost nulového vektoru ve skupině vektorů zaručuje lineární závislost této skupiny? 17. Podrobně zdůvodněte, proč v lineárním prostoru reálných funkcí jsou funkce f, g, h dané vzorci f(x) = sin x, g(x) = x^2 a h(x) = 1 jsou lineárně nezávislé. 18. Dokažte větu: vektory jsou lineárně závislé právě tehdy, když existuje jeden, který je lineární kombinací ostatních. 19. Předpokládejte konečnou neprázdnou lineárně závislou množinu vektorů M. Zdůvodněte, proč přidáním vektoru k množině M vznikne lineárně závislá množina. 20. Předpokládejte konečnou aspoň dvouprvkovou lineárně nezávislou množinu vektorů M. Zdůvodněte, proč odebráním vektoru z množiny M vznikne lineárně nezávislá množina. 21. Vysvětlete z definice lineární závislosti, proč lineární závislost není ovlivněna pořadím vektorů. 22. Vysvětlete z definice lineární závislosti, proč skupina vektorů, v níž se nějaký vektor opakuje, jelineárně závislá. 23. Definujte lineární obal i pro nekonečné množiny. Zdůvodněte, proč z ∈ <M> právě tehdy, když existuje konečně mnoho vektorů z M tak, že z je jejich lineární kombinací. 24. Dokažte <<M>> = <M> . 25. Proč je množina vektorů M lineárním podprostorem právě tehdy, když je <M> = M? 26. Proč je lineární obal jakékoli množiny podprostor? 27. Zdůvodněte, proč je lineární obal množiny M nejmenším podprostorem, který obsahuje M. 28. Předpokládejte N lineárně nezávislou množinu a z nenáleží <M>. Dokažte, že přidáním vektoru z k N zůstává tato množina lineárně nezávislá. 29. Popište postup, jakým lze (v lineárním prostoru s konečnou dimenzí) doplnit libovolnou lineárně nezávislou množinu N na bázi. 30. Zdůvodněte, proč lze z lineárně závislé množiny M odebrat vektor tak, že lineární obal zmenšené množiny je stejný jako lineární obal původní množiny M. 31. Zformulujte (bez důkazu) Steintzovu větu o výměně a vysvětlete její využití v důkaze tvrzení, že každé dvě báze stejného lineárního prostoru mají stejný počet prvků. 32. Proč lineárně nezávislá množina vektorů nesmí mít více prvků, než dimenze lineárního prostoru těchto vektorů? 33. V lineárním prostoru L uvažujte množinu M, která má více prvků, než dimL. Proč musí být M lineárně závislá? 34. Dokažte, že pokud má množina M stejně prvků, jako je dimL, pak je lineárně nezávislá právě tehdy, když <M> = L. 35. Zdůvodněte, proč množina {1, x, x^2, x^3, . . .} tvoří bázi lineárního prostoru všech polynomů. 36. Podrobně zdůvodněte, proč množina polynomů {x^2+1, x, x−1} tvoří bázi lineárního prostoru všech polynomů nejvýše druhého stupně.    **Matice ** 37. Proč matice typu (m, n) tvoří lineární prostor? Jakou má tento prostor dimenzi? 38. Proč GEM nemění lineární obal řádků? 39. Jak GEM slouží k výpočtu hodnosti matice? Popište metodu a zdůvodněte, proč tato metoda skutečně počítá hodnost matice. 40. Popište metodu ověření lineární závislosti vektorů z Rn eliminací matice, ve které jsou tyto vektory zapsány po řádcích. Jak tato metoda souvisí s definicí lineární závislosti? 41. Definujte maticové násobení. Proč čtvercová matice A komutuje s A2? 42. Dokažte asociativitu maticového násobení. 43. Dokažte asociativitu maticového násobení a maticového násobku. 44. Zdůvodněte, proč maticové násobení nemusí být komutativní ani pro čtvercové matice. 45. Proč má horní trojúhelníková matice linárně nezávislé řádky? 46. Zdůvodněte, proč matice komutující s pevně danou maticí tvoří lineární podprostor. 47. Proč je součin regulárních matic regulární? 48. Čím je zaručena jednoznačnost inverzní matice? 49. Popište metodu výpočtu inverzní matice eliminací a zdůvodněte, proč tato metoda skutečně dává inverzní matici. 50. Vynásobíme-li matici A regulární maticí, pak se matice A může změnit, ale nezmění se její hodnost. Proč? 51. Co víme o hodnosti součinu matic, když známe hodnosti jednotlivých činitelů? Zdůvodněte.    **Determinant** 52. Definice determinantu. 53. Zdůvodněte z definice základní vlastnosti determinantu. 54. Proč přičtení násobku řádku k jinému nezmění hodnotu determiantu? 55. Formulujte (bez důkazu) větu o rozvoji determinatu podle řádku/sloupce. 56. Z věty o determinantu součinu odvoďte vzorec pro determinant inverzní matice. 57. Zformulujte a dokažte větu na výpočet inverzní matice pomocí doplňků.       **Soustavy lineárních rovnic ** 58. Frobeniova věta, přesná formulace, význam, důkaz. 59. Definice pojmu řešení soustavy lineárních rovnic. 60. Proč množina řešení homogenní soustavy lineárních rovnic tvoří lineární podprostor? 61. Nechť v je jedno řešení soustavy lineárních rovnic. Proč všechna ostatní řešení této soustavy jsou ve tvaru součtu v + u, kde u je nějaké řešení homogenní soustavy přidružené k dané soustavě? 62. Zformulujte a dokažte Cramerovu větu. 63. Nechť M = v+<u1, . . . ,uk> , M′=v' + <u′1, . . . ,u′k> . Navrhněte a zdůvodněte postup, podle kterého poznáte, že M = M′. 64. Jakou dimenzi má prostor řešení homogenní soustavy lineárních rovnic a proč?    **Konečná dimenze ** 65. Definujte pojem souřadnice vzhledem k uspořádané bázi. Zdůvodněte existenci a jednoznačnost souřadnic. 66. Proč jsou souřadnice polynomu vzhledem ke standardní bázi lin. prostoru polynomů nejvýše n-tého stupně rovny koeficientům tohoto polynomu? 67. Proč jsou souřadnice vektoru z Rn vzhledem ke standardní bázi rovny složkám tohoto vektoru? 68. Proč je zobrazení, které vektorům přiřadí uspořádanou n-tici jejich souřadnic vzhledem k pevně zvolené bázi, lineární? 69. Definujte spojení dvou podprostorů. Čemu je rovnen součet dimenzí spojení a průniku dvou podprostorů? <{/ForumPost}>
Line 9:	Line 93:
= Plavání = * matfyzáčtí plavci nejsou žádný B-čka: [http://plavani.matfyz.cz] * v [[SCUK|sportovním centru Univerzity Karlovy]] v hodinách pro veřejnost za 80 Kč na ISIC - [http://bazen-hostivar.717.cz/ Plavecký bazén Hostivař] - neoficiální, přesto stále aktualizované stránky * Plavecký bazén na Výstavišti [http://www.incheba.cz/bazen zde] * [http://www.pspodoli.cz/ plavárna v Podolí] ** možnost plaváni ve vnitřním krytém bazénu i ve vnějším, který je přes zimu vyhřívaný (kolem 27 stupňů) ** k dispozici je v ceně také pára (aka mokrá sauna) * ostatní na [http://www.koupani.cz/koupani/]	<{ForumPost(poster="Osiris", timestamp=2009-11-14 15:42:49)}> Nemáme ti rovnou napsat skripta? :shock: <{/ForumPost}>
Line 18:	Line 97:
= Squash = * centrum [http://www.squashe.cz/index.php?mm=hastal Haštal] - [http://www.squashe.cz/index.php?mm=hastal&s=2 ceny] pro studenty 130,- za kurt a hodinu (Pá, So, Ne večer dokonce 110,-) * [http://www.mybox.cz/squash-holesovice/ Squash Holešovice] - z Nádraží Holešovice cca 5min na zastávku Maniny (tram #12), [http://www.mybox.cz/squash-holesovice/cenik.htm ceny] pro studenty 130,- za kurt a hodinu	<{ForumPost(poster="Tommassino", timestamp=2009-11-27 20:17:05)}> mohl bys mi rict, z ceho sou ty otazky? jen by me to zajimalo... <{/ForumPost}>
Line 22:	Line 101:
* [http://www.squasharbes.cz/Default.aspx/ Squash Arbes] - Arbesovo náměstí, pro informatiky blízko ze školy, studentská cena 170,- za kurt a hodinu = Bruslení = * zimní stadion [http://www.nikolajka.eu/ Nikolajka] - Anděl ** cena: 40,- Kč ** - mnoho lidí * stadion na [http://www.stvanice.cz/ Štvanici] ** cena: 80,- Kč ** + kulturní zážitek * stadion pri OC[http://www.icearena.cz/index.php Letnany] ** cena: 80,- Kč ** + kvalita ledu ** + servis ** - vzádlenost od Troje * [http://www.incheba.cz/main.php?pageid=56 malá sportovní hala] na pražském výstavišti ** cena: 50,- Kč ** + dostupnost z Troje ** - žádný bufet ani automat * bruslení [http://supermapy.centrum.cz/map.php?ql=&qlc=-1&bbox=3460802.697119341:5552560.1201646095-3462552.697119341:5553950.037860082&mapsize=1&poi=2,6,7,8&stred=0:0&origin=&sid=&okoli=&search_flag=6 v mrtvém rameni Vltavy] :) ** + stačí zajít na Palmovku a odtud seběhnout k vodě ** + cena :) ** - závislost na počasí * [http://www.praha13.cz/ruzne/stadion/ školní zimní stadion Bronzová] (metro B, stanice Lužiny) ** cena: 30,- Kč za hodinu, 50,- Kč za 3 hodiny ** - v sezóně 2005/2006 mimo provoz * stadion [http://www.hckobra.cz/ HC Kobra Praha] ** cena: 60,- Kč ** otevřeno pro veřejnost: So, Ne - 13:15 až 15:15 ** - vzdálenost (viz [http://www.mapy.cz/?query=Loc:%2050%C2%B01'53.17%22N,14%C2%B025'38.8%22E&zoom=16&mapType=base&centerX=133089632&centerY=135753376#centerX=133087791@centerY=135753054@typ=base@zoom=15@vizType=none@vizIds=none mapa]) ** - hodně lidí