Diff for ''

Deletions are marked like this.	Additions are marked like this.
Line 1:	Line 1:
# Linearní algebra - pomoc s otázkami <{ForumPost(poster="-tom@s-", timestamp=2009-11-14 14:52:23)}> Ahoj, prosím o pomoc s těmito otázkami, v tomto předmětu úplně plavu a vůbec ho nepobíram :( snažím se neco vyčíst na netu ale je to marný, prosím odpověď alespoň na něco. vřelé díky..       **Polynomy ** 1. Proč kořenový činitel dělí polynom beze zbytku. 2. Proč celočíselný kořen polynomu s celočíselnými koeficienty dělí a0. 3. Dokažte, že ke každému kořenu polynomu s reálnými koeficienty existuje kořen komplexně sdružený. 4. Proč ke každým dvěma polynomům p, q (q nenulový) je určen částečný podíl a zbytek jednoznačně? 5. Nechť má polynom an = 1 a má jen reálné nebo po dvou komplexně sdružené kořeny. Proč pak má všechny koeficienty reálné? 6. Proč polynom lichého stupně s reálnými koeficienty musí mít alespoň jeden reálný kořen? 7. Proč nemůže mít polynom stupně n více než n vzájmeně různých kořenů? 8. Proč je polynom stupně n určen jednoznačně svými hodnotami v n + 1 různých bodech?    **Lineární prostor ** 9. Odvoďte z axiomů linearity (v definici lineárního prostoru) vlastnosti: a) x + o = x, b) αo = o pro x libovolný prvek lineárního prostoru, o nulový prvek a α∈ R. 10. Ověřte podrobně, že Rn s obvyklým +, · tvoří lineární prostor. 11. Ukažte, že množina nekonečných posloupností s + a · definovaným „po složkáchÿ tvoří LP. 12. Proč je množina všech posloupností s limitou=0 lineárním podprostorem LP všech posloupností? 13. Proč množina M = {(a, b, c, d), |a| = |b|, |c| = |d|} není podprostorem R4? 14. Zdůvodněte, proč průnik lineárních podprostorů je lineární podprostor a sjednocení lineárních pod-prostorů nemusí být lineární podprostor.    **Lineární závislost, obal, báze ** 15. Zdůvodněte podrobně z axiomů linearity, proč triviální lineární kombinace je rovna nulovému vektoru. 16. Proč přítomnost nulového vektoru ve skupině vektorů zaručuje lineární závislost této skupiny? 17. Podrobně zdůvodněte, proč v lineárním prostoru reálných funkcí jsou funkce f, g, h dané vzorci f(x) = sin x, g(x) = x^2 a h(x) = 1 jsou lineárně nezávislé. 18. Dokažte větu: vektory jsou lineárně závislé právě tehdy, když existuje jeden, který je lineární kombinací ostatních. 19. Předpokládejte konečnou neprázdnou lineárně závislou množinu vektorů M. Zdůvodněte, proč přidáním vektoru k množině M vznikne lineárně závislá množina. 20. Předpokládejte konečnou aspoň dvouprvkovou lineárně nezávislou množinu vektorů M. Zdůvodněte, proč odebráním vektoru z množiny M vznikne lineárně nezávislá množina. 21. Vysvětlete z definice lineární závislosti, proč lineární závislost není ovlivněna pořadím vektorů. 22. Vysvětlete z definice lineární závislosti, proč skupina vektorů, v níž se nějaký vektor opakuje, jelineárně závislá. 23. Definujte lineární obal i pro nekonečné množiny. Zdůvodněte, proč z ∈ <M> právě tehdy, když existuje konečně mnoho vektorů z M tak, že z je jejich lineární kombinací. 24. Dokažte <<M>> = <M> . 25. Proč je množina vektorů M lineárním podprostorem právě tehdy, když je <M> = M? 26. Proč je lineární obal jakékoli množiny podprostor? 27. Zdůvodněte, proč je lineární obal množiny M nejmenším podprostorem, který obsahuje M. 28. Předpokládejte N lineárně nezávislou množinu a z nenáleží <M>. Dokažte, že přidáním vektoru z k N zůstává tato množina lineárně nezávislá. 29. Popište postup, jakým lze (v lineárním prostoru s konečnou dimenzí) doplnit libovolnou lineárně nezávislou množinu N na bázi. 30. Zdůvodněte, proč lze z lineárně závislé množiny M odebrat vektor tak, že lineární obal zmenšené množiny je stejný jako lineární obal původní množiny M. 31. Zformulujte (bez důkazu) Steintzovu větu o výměně a vysvětlete její využití v důkaze tvrzení, že každé dvě báze stejného lineárního prostoru mají stejný počet prvků. 32. Proč lineárně nezávislá množina vektorů nesmí mít více prvků, než dimenze lineárního prostoru těchto vektorů? 33. V lineárním prostoru L uvažujte množinu M, která má více prvků, než dimL. Proč musí být M lineárně závislá? 34. Dokažte, že pokud má množina M stejně prvků, jako je dimL, pak je lineárně nezávislá právě tehdy, když <M> = L. 35. Zdůvodněte, proč množina {1, x, x^2, x^3, . . .} tvoří bázi lineárního prostoru všech polynomů. 36. Podrobně zdůvodněte, proč množina polynomů {x^2+1, x, x−1} tvoří bázi lineárního prostoru všech polynomů nejvýše druhého stupně.    **Matice ** 37. Proč matice typu (m, n) tvoří lineární prostor? Jakou má tento prostor dimenzi? 38. Proč GEM nemění lineární obal řádků? 39. Jak GEM slouží k výpočtu hodnosti matice? Popište metodu a zdůvodněte, proč tato metoda skutečně počítá hodnost matice. 40. Popište metodu ověření lineární závislosti vektorů z Rn eliminací matice, ve které jsou tyto vektory zapsány po řádcích. Jak tato metoda souvisí s definicí lineární závislosti? 41. Definujte maticové násobení. Proč čtvercová matice A komutuje s A2? 42. Dokažte asociativitu maticového násobení. 43. Dokažte asociativitu maticového násobení a maticového násobku. 44. Zdůvodněte, proč maticové násobení nemusí být komutativní ani pro čtvercové matice. 45. Proč má horní trojúhelníková matice linárně nezávislé řádky? 46. Zdůvodněte, proč matice komutující s pevně danou maticí tvoří lineární podprostor. 47. Proč je součin regulárních matic regulární? 48. Čím je zaručena jednoznačnost inverzní matice? 49. Popište metodu výpočtu inverzní matice eliminací a zdůvodněte, proč tato metoda skutečně dává inverzní matici. 50. Vynásobíme-li matici A regulární maticí, pak se matice A může změnit, ale nezmění se její hodnost. Proč? 51. Co víme o hodnosti součinu matic, když známe hodnosti jednotlivých činitelů? Zdůvodněte.    **Determinant** 52. Definice determinantu. 53. Zdůvodněte z definice základní vlastnosti determinantu. 54. Proč přičtení násobku řádku k jinému nezmění hodnotu determiantu? 55. Formulujte (bez důkazu) větu o rozvoji determinatu podle řádku/sloupce. 56. Z věty o determinantu součinu odvoďte vzorec pro determinant inverzní matice. 57. Zformulujte a dokažte větu na výpočet inverzní matice pomocí doplňků.       **Soustavy lineárních rovnic ** 58. Frobeniova věta, přesná formulace, význam, důkaz. 59. Definice pojmu řešení soustavy lineárních rovnic. 60. Proč množina řešení homogenní soustavy lineárních rovnic tvoří lineární podprostor? 61. Nechť v je jedno řešení soustavy lineárních rovnic. Proč všechna ostatní řešení této soustavy jsou ve tvaru součtu v + u, kde u je nějaké řešení homogenní soustavy přidružené k dané soustavě? 62. Zformulujte a dokažte Cramerovu větu. 63. Nechť M = v+<u1, . . . ,uk> , M′=v' + <u′1, . . . ,u′k> . Navrhněte a zdůvodněte postup, podle kterého poznáte, že M = M′. 64. Jakou dimenzi má prostor řešení homogenní soustavy lineárních rovnic a proč?    **Konečná dimenze ** 65. Definujte pojem souřadnice vzhledem k uspořádané bázi. Zdůvodněte existenci a jednoznačnost souřadnic. 66. Proč jsou souřadnice polynomu vzhledem ke standardní bázi lin. prostoru polynomů nejvýše n-tého stupně rovny koeficientům tohoto polynomu? 67. Proč jsou souřadnice vektoru z Rn vzhledem ke standardní bázi rovny složkám tohoto vektoru? 68. Proč je zobrazení, které vektorům přiřadí uspořádanou n-tici jejich souřadnic vzhledem k pevně zvolené bázi, lineární? 69. Definujte spojení dvou podprostorů. Čemu je rovnen součet dimenzí spojení a průniku dvou podprostorů? <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="Osiris", timestamp=2009-11-14 15:42:49)}> Nemáme ti rovnou napsat skripta? :shock: <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="Tommassino", timestamp=2009-11-27 20:17:05)}> mohl bys mi rict, z ceho sou ty otazky? jen by me to zajimalo... <{/ForumPost}>