<Protiseminář>

<b>Otázky & odpovede</B>

• Ako použiť Lagrangián a Hamiltonián v kovariantnom popise častice v poli? Nekovariantne to nie je problém. Pohyb častice medzi pevnými časmi <I>t_1, t_2</I> minimalizuje účinok

$ S_{12} = \int_{t_1}^{t_2} L dt,

$ kde obyčajný Lagrangián je

$ L = -mc^2\sqrt{1-\frac{\mathbf v^2}{c^2}} - q\phi + q\mathbf A \cdot \mathbf v.

$ Prechod k Hamiltonovskému popisu je jednoduchý - Hamiltonián je

$ H = \mathbf p \cdot \mathbf v - L = \sqrt{(\mathbf p - q\mathbf A)^2 c^2 + m^2c^4} + q\phi

$ a správne pohybové rovnice sú

kde $

\frac{d\mathbf r}{dt} = \frac{\partial H}{\partial \mathbf p}~,~\frac{d\mathbf p}{dt} = - \frac{\partial H}{\partial \mathbf r}. $

Lenže ak túto procedúru skúsime zopakovať kovariantne, narazíme na problém. Ako vôbec sformulovať princíp účinku kovariantne? Ak budeme integrovať cez vlastný čas, účinok je

$ S_{12} = \int_{\tau_1}^{\tau_2} -mc\sqrt{-u_\mu u^\mu} + qA_\mu u^\mu d\tau.

$ Ak teraz <I>zmeníme</I> pôvodný princíp účinku na predpoklad, že pri fixovaných hraniciach tau je variácia tohoto integrálu nulová, dostaneme hybnosť

$ p_\mu = \frac{mc\frac{dx_\mu}{d\tau}}{\sqrt{-u_\mu u^\mu}} + qA_\mu

$ a pohybové rovnice

$ \frac{d}{d\tau} \left( \frac{mc\frac{dx_\mu}{d\tau}}{\sqrt{-u_\nu u^\nu}} \right) = q ( \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu ) u^\nu.

$

Lenže pohybové rovnice sú zle, pretože správne rovnice sú bez tej odmocniny a <I>c</I>: $

\frac{d}{d\tau} \left( m\frac{dx_\mu}{d\tau} \right) = q ( \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu ) u^\nu. $

V knižkách sa tento problém odlfákne tým, že sa po odvodení rovníc povie $u_\mu u^\mu = -c^2$. Lenže to je opravovanie rovnice a zakrývanie faktu, že Lagrangián a princíp účinku nám nedali správne rovnice. Väzba $u_\mu u^\mu = -c^2$ by mala plynúť z Lagrangiánu. Ďalšou námietkou je, že ak by sme väzbu zobrali skôr, už v Lagrangiáne, dostali by sme

$ L = -mc^2 + qA_\mu u^\mu

$ z ktorého by sme dostali hybnosť

$ p_\mu = qA_\mu

$ a rovnice

$ (\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu) u^\nu = 0,

$ ktoré sú zle.

Hamiltonovská formulácia nie je na tom vôbec lepšie: keďže Lagrangián je homogénny prvého rádu v rýchlostiach, podľa Eulerovej vety platí

$ L = p_\mu u^\mu

$ a Hamiltonián

$ H = p_\mu u^\mu - L

$ je nulový (tzn. nezávisí na hybnostiach a polohách), čo dá úplne nesprávne rovnice

$ \mathbf r = const., \mathbf p = const.

$

Hlavný problém vzniká, keď sa snažíme použiť vlastný čas - vtedy sa nám do problému dostáva spomenutá väzba. Ak ostaneme pri starom dobrom súradnicovom čase, žiadnu väzbu nemáme - dostaneme rovno rovnice $

\frac{d}{d\tau} \left( \frac{m\mathbf v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right) = q(\mathbf E + \mathbf v \times \mathbf B). $

Ako to teda správne chápať? Z celej tejto bolestivej procedúry mám pocit, že myšlienka kovariantného zápisu nie je príliš užitočná.

• Predstavme si polguľu na drsnej rovine, takže nedochádza k prešmykovaniu. Polguľa sa môže iba odvaľovať a kmitať. image:polgula.pngAko správne napísať pohybovú rovnicu? Z Lagrangiánu

$L = \frac{1}{2} I_\phi (\dot \phi)^2 + mgr_T \cos \phi$

dostaneme pohybovú rovnicu

$\frac{d}{dt} \left( I_\phi \dot \phi \right) = \frac{1}{2}I_\phi^\prime\dot{\phi}^2-mgr_T \sin\phi$,

zatiaľčo z druhej impulzovej vety (časová zmena momentu hybnosti = moment sily) máme

$\frac{d}{dt} \left( I_\phi \dot \phi \right) = -mgr_T \sin\phi$.

Ktorý prístup je správne a ako sa má správne urobiť ten druhý?

• V skutočnosti je správne rovnica z Lagrangiánu. Postup cez moment sily je tiež dobrý, ale zrada je v momente hybnosti: jeho zmenu treba počítať vzhľadom na pevný bod podložky; po infinitezimálnom posunutí dotykového bodu z bodu 1 do bodu 2 na podložke o $\mathbf a$ je už moment hybnosti zvýšený o príspevok pohybu ťažiska: $\mathbf L _2 = I_\phi \mathbf \omega + \mathbf a \times m\mathbf{v_T}$, čo po vyjadrení z geometrie dá rovnakú pohybovú rovnicu ako Lagrangián.

• V klasickej mechanike pre účinok S častice, ktorý chápeme ako funkciu jej aktuálnej polohy a času - $dS(q,t) = L dt = p dq - H dt$ - platia rovnice $\frac{\partial S}{\partial x^i} = p_i$, $\frac{\partial S}{\partial t} = -E$. Ako je možné, že je táto rovnica správne kovariantne (dá sa zapísať ako $\partial_\mu S = p_\mu$) už v klasickej mechanike, kde by sa metrika $-+++$ nemala nikde objaviť (to je až výsledok relativity)?

<p>.</p>

• Predstavme si pravidelný mnohosten, napríklad kocku. Každý taký mnohosten má nejaký počet stien 'F', hrán 'E' a vrcholov 'V', pričom tieto tri čísla vždy spĺňajú vzťah $F + V - E = 2$. Je ešte jedna oblasť, kde sa objavuje podobný vzťah - termodynamika. image:kocka.PNGGibbsovo pravidlo fáz tvrdí, že pre počet fáz f, zložiek z a počet stupňov voľnosti sústavy s platí vzťah $f + z - s = 2$. Existuje tu nejaký súvis, alebo je to všetko iba náhoda ?

• Myslím, že to je jen náhoda. Výraz $V+F-E$ se nazývá Eulerova charakteristika a závisí na topologii tělesa, takže může mít i jinou hodnotu než 2.