[[Protiseminář| Späť]]
<b>Otázky & odpovede</B>
* Ako použiť Lagrangián a Hamiltonián v kovariantnom popise častice v poli? Nekovariantne to nie je problém. Pohyb častice medzi pevnými časmi <I>t_1, t_2</I> minimalizuje účinok
<math>
S_{12} = \int_{t_1}^{t_2} L dt,
</math>
kde obyčajný Lagrangián je
<math>
L = -mc^2\sqrt{1-\frac{\mathbf v^2}{c^2}} - q\phi + q\mathbf A \cdot \mathbf v.
</math>
Prechod k Hamiltonovskému popisu je jednoduchý - Hamiltonián je
<math>
H = \mathbf p \cdot \mathbf v - L = \sqrt{(\mathbf p - q\mathbf A)^2 c^2 + m^2c^4} + q\phi
</math>
a správne pohybové rovnice sú
kde
<math>
\frac{d\mathbf r}{dt} = \frac{\partial H}{\partial \mathbf p}~~~,~~~\frac{d\mathbf p}{dt} = - \frac{\partial H}{\partial \mathbf r}.
</math>
Lenže ak túto procedúru skúsime zopakovať kovariantne, narazíme na problém. Ako vôbec sformulovať princíp účinku kovariantne? Ak budeme integrovať cez vlastný čas, účinok je
<math>
S_{12} = \int_{\tau_1}^{\tau_2} -mc\sqrt{-u_\mu u^\mu} + qA_\mu u^\mu d\tau.
</math>
Ak teraz <I>zmeníme</I> pôvodný princíp účinku na predpoklad, že pri fixovaných hraniciach tau je variácia tohoto integrálu nulová, dostaneme hybnosť
<math>
p_\mu = \frac{mc\frac{dx_\mu}{d\tau}}{\sqrt{-u_\mu u^\mu}} + qA_\mu
</math>
a pohybové rovnice
<math>
\frac{d}{d\tau} \left( \frac{mc\frac{dx_\mu}{d\tau}}{\sqrt{-u_\nu u^\nu}} \right) = q ( \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu ) u^\nu.
</math>
Lenže pohybové rovnice sú zle, pretože správne rovnice sú bez tej odmocniny a <I>c</I>:
<math>
\frac{d}{d\tau} \left( m\frac{dx_\mu}{d\tau} \right) = q ( \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu ) u^\nu.
</math>
V knižkách sa tento problém odlfákne tým, že sa po odvodení rovníc povie <math>u_\mu u^\mu = -c^2</math>. Lenže to je opravovanie rovnice a zakrývanie faktu, že Lagrangián a princíp účinku nám nedali správne rovnice. Väzba <math>u_\mu u^\mu = -c^2</math> by mala plynúť z Lagrangiánu. Ďalšou námietkou je, že ak by sme väzbu zobrali skôr, už v Lagrangiáne, dostali by sme
<math>
L = -mc^2 + qA_\mu u^\mu
</math>
z ktorého by sme dostali hybnosť
<math>
p_\mu = qA_\mu
</math>
a rovnice
<math>
(\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu) u^\nu = 0,
</math>
ktoré sú zle.
Hamiltonovská formulácia nie je na tom vôbec lepšie: keďže Lagrangián je homogénny prvého rádu v rýchlostiach, podľa Eulerovej vety platí
<math>
L = p_\mu u^\mu
</math>
a Hamiltonián
<math>
H = p_\mu u^\mu - L
</math>
je nulový (tzn. nezávisí na hybnostiach a polohách), čo dá úplne nesprávne rovnice
<math>
\mathbf r = const., \mathbf p = const.
</math>
Hlavný problém vzniká, keď sa snažíme použiť vlastný čas - vtedy sa nám do problému dostáva spomenutá väzba. Ak ostaneme pri starom dobrom súradnicovom čase, žiadnu väzbu nemáme - dostaneme rovno rovnice
<math>
\frac{d}{d\tau} \left( \frac{m\mathbf v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right) = q(\mathbf E + \mathbf v \times \mathbf B).
</math>
Ako to teda správne chápať? Z celej tejto bolestivej procedúry mám pocit, že myšlienka kovariantného zápisu nie je príliš užitočná.
----
* Predstavme si polguľu na drsnej rovine, takže nedochádza k prešmykovaniu. Polguľa sa môže iba odvaľovať a kmitať. [[image:polgula.png|thumb]]Ako správne napísať pohybovú rovnicu? Z Lagrangiánu
<math>L = \frac{1}{2} I_\phi (\dot \phi)^2 + mgr_T \cos \phi</math>
dostaneme pohybovú rovnicu
<math>\frac{d}{dt} \left( I_\phi \dot \phi \right) = \frac{1}{2}I_\phi^\prime\dot{\phi}^2-mgr_T \sin\phi</math>,
zatiaľčo z druhej impulzovej vety (časová zmena momentu hybnosti = moment sily) máme
<math>\frac{d}{dt} \left( I_\phi \dot \phi \right) = -mgr_T \sin\phi</math>.
Ktorý prístup je správne a ako sa má správne urobiť ten druhý?
* V skutočnosti je správne rovnica z Lagrangiánu. Postup cez moment sily je tiež dobrý, ale zrada je v momente hybnosti: jeho zmenu treba počítať vzhľadom na pevný bod podložky; po infinitezimálnom posunutí dotykového bodu z bodu 1 do bodu 2 na podložke o <math>\mathbf a</math> je už moment hybnosti zvýšený o príspevok pohybu ťažiska: <math>\mathbf L _2 = I_\phi \mathbf \omega + \mathbf a \times m\mathbf{v_T}</math>, čo po vyjadrení z geometrie dá rovnakú pohybovú rovnicu ako Lagrangián.
----
* V klasickej mechanike pre účinok S častice, ktorý chápeme ako funkciu jej aktuálnej polohy a času - <math>dS(q,t) = L dt = p dq - H dt</math> - platia rovnice <math>\frac{\partial S}{\partial x^i} = p_i</math>, <math>\frac{\partial S}{\partial t} = -E</math>. Ako je možné, že je táto rovnica správne kovariantne (dá sa zapísať ako <math>\partial_\mu S = p_\mu</math>) už v klasickej mechanike, kde by sa metrika <math>-+++</math> nemala nikde objaviť (to je až výsledok relativity)?
<p>.</p>
----
* Predstavme si pravidelný mnohosten, napríklad kocku. Každý taký mnohosten má nejaký počet stien 'F', hrán 'E' a vrcholov 'V', pričom tieto tri čísla vždy spĺňajú vzťah <math>F + V - E = 2</math>. Je ešte jedna oblasť, kde sa objavuje podobný vzťah - termodynamika. [[image:kocka.PNG]]Gibbsovo pravidlo fáz tvrdí, že pre počet fáz ''f'', zložiek ''z'' a počet stupňov voľnosti sústavy ''s'' platí vzťah <math>f + z - s = 2</math>. Existuje tu nejaký súvis, alebo je to všetko iba náhoda ?
* Myslím, že to je jen náhoda. Výraz <math>V+F-E</math> se nazývá Eulerova charakteristika a závisí na topologii tělesa, takže může mít i jinou hodnotu než 2.
----
