Syntax highlighting of Archiv/Komplexní reprezentace polychromatických polí

[[Státnice - Fyzika NMgr: Seznam okruhů#4. Vlnová optika]]

* Monochromatická vlna: ''E(t)~exp(i(k∙r-ωt)) + c.c.''. FT dá součet dvou δ-distribucí, jednu pro ''ω/2'' a druhou pro ''-ω/2''
* Polychromatická: ''E(t)=∑E<sub>0i</sub>exp(i(k<sub>i</sub>∙r-ω<sub>i</sub>t)) + c.c.'' => FT dá součet více δ-distribucí
* Spojité spektrum: ''E(ω) = ∫<sub>R</sub>E(t) exp(-iωt) dt''

Věnujme se nyní spojitému spektru: ''E(t) ∈ R'' => ''E(ω) = E*(-ω)''. Tímto se lze zbavit nefyzikálních záporných frekvencí (viz Němcova vlnová optika. Já u sebe ten sešit nyní nemám, takže si nejsem tak úplně jist, jak to je). Udělám poupravenou IFT a zavedu komplexní analytický signál: ''U(t) := ∫<sub>R<sup>+</sup></sub>2E(ω) exp(iωt) dω''.

K čemu tento komplexní analytický signál je dobrý?
* Zavedu koherenční funkci G(τ) := &lt;U*(t) U(t+τ)>. Pozor: toto je souborová střední hodnota. Časová je ''lim<sub>T→∞</sub> 1/T ∫<sub>-T/2</sub><sup>T/2</sup> U*(t) U(t+τ) dt''. Platí ergodický teorém: souborová střední hodnota je shodná s časovou, pokud máme stacionární vlnění.

Protože je ''G(0) = intentita světla'', je vhodné ji normovat: ''g(τ) := G(τ) / G(0) = G(τ) / &lt;U*(t) U(t)>''. Pozn: ''G'' i ''g'' jsou komplexní. ''|g| ∈ <0;1>''.

Lze zavést i prostorovou koherenci ''G(r<sub>1</sub>, r<sub>2</sub>, τ) := &lt;U*(r<sub>1</sub>, t) U(r<sub>2</sub>, t+τ)>'' a ''g(r<sub>1</sub>, r<sub>2</sub>, τ) := G(r<sub>1</sub>, r<sub>2</sub>, τ) / ...''. Namísto tří teček se bere "střední intenzita v místech r<sub>1</sub>a r<sub>2</sub>", přesněji jejich geometrický průměr: ''g(r<sub>1</sub>, r<sub>2</sub>, τ) := G(r<sub>1</sub>, r<sub>2</sub>, τ) / √I(r<sub>1</sub>)I(r<sub>2</sub>)''. Připomenutí: ''I(r<sub>1</sub>) = G(r<sub>1</sub>, τ = 0)''. Pozn: ''G'' i ''g'' splňují vlnovou rovnici

==Užití==
V Michelsonově inteferometru: chci viditelnost proužků ''V > 1/2''. Intenzita světla dopadajícího do detektoru je (po chvilce počítání) dána jako ''I(x) = I<sub>0</sub> + 2|g| cos(4π/λ |L<sub>1</sub>-L<sub>2</sub>|)'', kde ''I<sub>0</sub>'' je intenzita vstupujícího světla, ''λ'' je vlnová délka použitého světla; ''L<sub>1</sub>'' a ''L<sub>2</sub>'' jsou délky jednotlivých ramen.

[[Image:Vysledekmichelson.png]]

Od naměřené intenzity již byla odečtena intenzita vstupujícího světla (''I<sub>0</sub>''). Amplituda kmitů  ''~|g|'', frekvence pak ''cos(4π/λ |L<sub>1</sub>-L<sub>2</sub>|)''. Ještě připomenu, že pro Lorentzovku i Gaussovku je ''τ~1/Δν'', ''cτ = |L<sub>1</sub>-L<sub>2</sub>|''