[[Protiseminář| Späť]]
<b>Otázky & odpovede</B>
* Ako použiť Hamiltonián v kovariantnom popise častice v poli? Nekovariantne to nie je problém. Pohyb častice medzi pevnými časmi <I>t_1, t_2</I> minimalizuje účinok
<math>
S_{12} = \int_{t_1}^{t_2} L dt,
</math>
kde obyčajný Lagrangián je
<math>
L = -mc^2\sqrt{1-\frac{\mathbf v^2}{c^2}} - q\phi + q\mathbf A \cdot \mathbf v.
</math>
Prechod k Hamiltonovskému popisu je jednoduchý - Hamiltonián je
<math>
H = \mathbf p \cdot \mathbf v - L = \sqrt{(\mathbf p - q\mathbf A)^2 c^2 + m^2c^4} + q\phi
</math>
a správne pohybové rovnice sú
kde
<math>
\frac{d\mathbf r}{dt} = \frac{\partial H}{\partial \mathbf p}~~~,~~~\frac{d\mathbf p}{dt} = - \frac{\partial H}{\partial \mathbf r}.
</math>
Lenže ak túto procedúru zopakujeme kovariantne, pre účinok máme (pri použití všeobecného parametra <I>s</I> namiesto času):
<math>
S_{12} = \int_{s_1}^{s_2} L_{cov} ds,
</math>
kde Lagrangián
<math>
L_{cov} = -mc\sqrt{-u_\mu u^\mu} + qA_\mu u^\mu
</math>
je funkciou 4 súradníc <math>x^\mu</math> a 4 rýchlostí <math>u^\mu = \frac{dx^\mu}{ds}</math>. Pre hybnosti dostávame
<math>
p_\mu = \frac{\partial L_{cov}}{\partial u^\mu} = \frac{mc u_\mu}{\sqrt{-u_\mu u^\mu}} +qA_\mu
</math>
a tu vidíme prvý problém: Hamiltonián sa nedá vyjadriť ako funkcia hybností kvôli odmocnine. Pokračovať môžeme však v prípade, že je táto odmocnina konštantná. Napríklad ak <math>s</math> je vlastný čas <math>\tau</math>, odmocnina je <math>c</math> a hybnosť je
<math>
p_\mu = \frac{mc u_\mu}{\sqrt{-u_\mu u^\mu}} +qA_\mu
</math>
<math>
H_{cov} = p_\mu u^\mu - L_{cov} =
</math>
Je možné urobiť túto procedúru kovariantne? Lagrangián nie je problém:
<math>
L = -mc\sqrt{-\dot u_\mu \dot u^\mu} + qA_\mu u^\mu
</math>
----
* Predstavme si polguľu na drsnej rovine, takže nedochádza k prešmykovaniu. Polguľa sa môže iba odvaľovať a kmitať. [[image:polgula.png|thumb]]Ako správne napísať pohybovú rovnicu? Z Lagrangiánu
<math>L = \frac{1}{2} I_\phi (\dot \phi)^2 + mgr_T \cos \phi</math>
dostaneme pohybovú rovnicu
<math>\frac{d}{dt} \left( I_\phi \dot \phi \right) = \frac{1}{2}I_\phi^\prime\dot{\phi}^2-mgr_T \sin\phi</math>,
zatiaľčo z druhej impulzovej vety (časová zmena momentu hybnosti = moment sily) máme
<math>\frac{d}{dt} \left( I_\phi \dot \phi \right) = -mgr_T \sin\phi</math>.
Ktorý prístup je správne a ako sa má správne urobiť ten druhý?
* V skutočnosti je správne rovnica z Lagrangiánu. Postup cez moment sily je tiež dobrý, ale zrada je v momente hybnosti: jeho zmenu treba počítať vzhľadom na pevný bod podložky; po infinitezimálnom posunutí dotykového bodu z bodu 1 do bodu 2 na podložke o <math>\mathbf a</math> je už moment hybnosti zvýšený o príspevok pohybu ťažiska: <math>\mathbf L _2 = I_\phi \mathbf \omega + \mathbf a \times m\mathbf{v_T}</math>, čo po vyjadrení z geometrie dá rovnakú pohybovú rovnicu ako Lagrangián.
----
* V klasickej mechanike pre účinok S častice, ktorý chápeme ako funkciu jej aktuálnej polohy a času - <math>dS(q,t) = L dt = p dq - H dt</math> - platia rovnice <math>\frac{\partial S}{\partial x^i} = p_i</math>, <math>\frac{\partial S}{\partial t} = -E</math>. Ako je možné, že je táto rovnica správne kovariantne (dá sa zapísať ako <math>\partial_\mu S = p_\mu</math>) už v klasickej mechanike, kde by sa metrika <math>-+++</math> nemala nikde objaviť (to je až výsledok relativity)?
<p>.</p>
----
* Predstavme si pravidelný mnohosten, napríklad kocku. Každý taký mnohosten má nejaký počet stien 'F', hrán 'E' a vrcholov 'V', pričom tieto tri čísla vždy spĺňajú vzťah <math>F + V - E = 2</math>. Je ešte jedna oblasť, kde sa objavuje podobný vzťah - termodynamika. [[image:kocka.PNG]]Gibbsovo pravidlo fáz tvrdí, že pre počet fáz ''f'', zložiek ''z'' a počet stupňov voľnosti sústavy ''s'' platí vzťah <math>f + z - s = 2</math>. Existuje tu nejaký súvis, alebo je to všetko iba náhoda ?
* Myslím, že to je jen náhoda. Výraz <math>V+F-E</math> se nazývá Eulerova charakteristika a závisí na topologii tělesa, takže může mít i jinou hodnotu než 2.
----
