Nechť $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & -1 & -2 \\ 8 & 4 & 5 \end{pmatrix}$ Pokud existují, najděte následující rozklady:
a) $A = RDR^{-1}$, kde $D$ je diagonální matice a $R$ je libovolná matice (10)
b) $U^{T}U$, kde $U$ je reálná horní trojúhleníková matice (5)

a) Uveďte přesnou definici charakteristického polynomu matice. (3)
b) Uveďte přesnou definici podobných matic. (3)
c) Co víte o charakteristických polynomech podobných matic? Přesně formulujte a dokažte. (9)

Nechť $U$ je podprostor vektorového prostoru $\Reals^{4}$ generovaný vektory $a = \begin{pmatrix} 1, 2, 2, 0 \end{pmatrix}^{T}$ a $b = \begin{pmatrix} 0, 1, 2, 3 \end{pmatrix}^{T}$. Najděte nějakou ortonotmální bázi ortogonálního doplňku $U$; ortogonalitu uvažujeme vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu. (15)

Pro každé z následujících tvrzení zdůvodněte, zda platí či neplatí.
a) Nechť $Z \in \Reals^{n \times n}$ je symetrická matice s nezápornou diagonálou. Pak $Z$ je pozitivně semidefinitní matice. (5)
b) Nechť $g$ je bilineární forma na $\Reals^{3}$ a $A, B$ matice této formy vůči dvěma různým bázím. Pak $det(A)=det(B)$. (5)
c) Kvadratická forma $f(x) = x^{T} \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} x$ na $\Reals^{2}$ nabývá pouze záporných hodnot, s vyjímkou vektoru $x = \begin{pmatrix} 0, 0 \end{pmatrix}^{T}$. (5)