1. Nechť A=(100−4−1−2845)A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & -1 & -2 \\ 8 & 4 & 5 \end{pmatrix}A=​1−48​0−14​0−25​​ Pokud existují, najděte následující rozklady:
   a) $A=RD{R}^{-1}$, kde $D$ je diagonální matice a $R$ je libovolná matice (10)
   b) $U^{T}U$, kde $U$ je reálná horní trojúhleníková matice (5)

2. a) Uveďte přesnou definici charakteristického polynomu matice. (3)
   b) Uveďte přesnou definici podobných matic. (3)
   c) Co víte o charakteristických polynomech podobných matic? Přesně formulujte a dokažte. (9)

3. Nechť $U$ je podprostor vektorového prostoru ${\mathbb{R}}^4$ generovaný vektory $a={\left(\begin{array}{c}1,2,2,0\end{array}\right)}^T$ a $b={\left(\begin{array}{c}0,1,2,3\end{array}\right)}^T$. Najděte nějakou ortonotmální bázi ortogonálního doplňku $U$; ortogonalitu uvažujeme vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu. (15)

4.Pro každé z následujících tvrzení zdůvodněte, zda platí či neplatí.
a) Nechť $Z\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ je symetrická atice s nezápornou diagonálou. Pak $Z$ je pozitivně semidefinitní matice. (5)
b) Nechť $g$ je bilineární forma na ${\mathbb{R}}^3$ a $A,B$ matice této formy vůči dvěma různým bázím. Pak $det(A)=det(B)$. (5)
c) Kvadratický forma $f(x)=x^T\left(\begin{array}{cc}-2& -1\\ 0& -3\end{array}\right)x$ na ${\mathbb{R}}^2$ nabývá pouze záporných hodnot, s vyjímkou vektoru $x={\left(\begin{array}{c}0,0\end{array}\right)}^T$. (5)