K matici $A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 \\ -3 & 7 & 3 \\ -3 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ najděte
a) ortonormální matici $R$ a diagonální matici $D$ tak, aby platilo $RDR^{T}=A$ (10)
b) matici $B$ tak, aby platilo $B^{2}=A$ (pro jistotu zdůrazňuji, že matice $B$ má opravdu splňovat $B^{2}=A$ a nikoli $B^{T}B = A$) (5)

Definujte pozitivně definitní matice. (5)
Formulujte a dokažte (alespoň) jednu další ekvivalentní podmínku na pozitivní definitnost matice. (10)

a) Uveďte přesně definici skalárního součinu ve vektorovém prostoru $V=R^{n}$. (5)
b) Nechť $U$ je lineární obal vektoru $b_{1}=\begin{pmatrix} 1,1,1\end{pmatrix}^{T}$ ve vektorovém prostoru $V=R^{3}$, a nechť $C=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$. Najděte nějakou bázi ortogonálního doplňku $U$, vzhledem ke skalárnímu součinu $\braket{u|v} = u^{T}Cv$, takovou, že každé dva její vektory $u, v, u \neq v$, jsou na sebe kolmé (opět vzhledem k výše uvedenému skalárnímu součinu) (10)

Pro každé následující tvrzení zdůvodněte, zda platí či neplatí.
a) Pro každou kvadratickou formu $g: V \rarr \Reals$ existuje taková báze,že matice $g$ vůči této bázi je diagonální. (5)
b) Pro každou matici a pro její libovolné vlastní vektory $u$ a $v$ platí, že jejich součet $u + v$ je též vlastním vektorem této matice. (5)
c) Objem rovnoběžnostěnu (v $\Reals^{3}$ se standardním skalárním součinem) daného vektory $\begin{pmatrix} 1,2,3\end{pmatrix}^{T}$, $\begin{pmatrix} 3,4,5\end{pmatrix}^{T}$ a $\begin{pmatrix} 1,7,3\end{pmatrix}^{T}$ je větší, než objem rovnoběžnostěnu daného vektory $\begin{pmatrix} 1,3,1\end{pmatrix}^{T}$, $\begin{pmatrix} 2,4,7\end{pmatrix}^{T}$ a $\begin{pmatrix} 3,5,3\end{pmatrix}^{T}$ (5)