K matici A=(1−3−3−373−331)A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 \\ -3 & 7 & 3 \\ -3 & 3 & 1 \end{pmatrix}A=​1−3−3​−373​−331​​ najděte
a) ortonormální matici $R$ a diagonální matici $D$ tak, aby platilo $RD{R}^T=A$ (10)
b) matici $B$ tak, aby platilo $B^2=A$ (pro jistotu zdůrazňuji, že matice $B$ má opravdu splňovat $B^2=A$ a nikoli $B^{T}B=A$) (5)

Definujte pozitivně definitní matice. (5)
Formulujte a dokažte (alespoň) jednu další ekvivalentní podmínku na pozitivní definitnost matice. (10)

a) Uveďte přesně definici skalárního součinu ve vektorovém prostoru $V=R^n$. (5)
b) Nechť $U$ je lineární obal vektoru $b_1={\left(\begin{array}{c}1,1,1\end{array}\right)}^T$ ve vektorovém prostoru $V=R^3$, a nechť C=(200020002)C=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}C=​200​020​002​​. Najděte nějakou bázi ortogonálního doplňku $U$, vzhledem ke skalárnímu součinu $⟨u|v⟩=u^{T}Cv$, takovou, že každé dva její vektory $u,v,u\ne v$, jsou na sebe kolmé (opět vzhledem k výše uvedenému skalárnímu součinu) (10)

Pro každé následující tvrzení zdůvodněte, zda platí či neplatí.
a) Pro každou kvadratickou formu $g:V\to \mathbb{R}$ existuje taková báze,že matice $g$ vůči této bázi je diagonální. (5)
b) Pro každou matici a pro její libovolné vlastní vektory $u$ a $v$ platí, že jejich součet $u+v$ je též vlastním vektorem této matice. (5)
c) Objem rovnoběžnostěnu (v ${\mathbb{R}}^3$ se standardním skalárním součinem) daního vektory ${\left(\begin{array}{c}1,2,3\end{array}\right)}^T$, ${\left(\begin{array}{c}3,4,5\end{array}\right)}^T$ a ${\left(\begin{array}{c}1,7,3\end{array}\right)}^T$ je větší, než objem rovnoběžnostěnu daného vektory ${\left(\begin{array}{c}1,3,1\end{array}\right)}^T$, ${\left(\begin{array}{c}2,4,7\end{array}\right)}^T$ a ${\left(\begin{array}{c}3,5,3\end{array}\right)}^T$ (5)