a) Definujte pojem báze vektorového prostoru (2)
b) Definujte pojem spojení $U+V$ vektorových podprostorů $U$ a $V$ vektorového prostoru $W$. (2)
c) Přesně zformulujte a dokažte větu o dimenzi spojení a průniku vektorových podprostorů. (6)

Uvažte matici $A$ typu $3\times 3$, (1102α33α2)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & \alpha & 3 \\ 3 & \alpha & 2 \end{pmatrix}​123​1αα​032​​, kde $\alpha \in \mathbb{R}$
a) Určete, pro které hodnoty $\alpha \in \mathbb{R}$ je matice $A$ regulární. (2)
b) Pro hodnotu $\alpha \in \mathbb{R}$ takovou, že matice $A$ není regulární, určete dimenzi $n$ vektorového prostoru $K=\{x\in {\mathbb{R}}^3:Ax=0\}$ a popište nějaký izomorfismus $f:K\to R^n$ (4)

a) Napište definici tělesa. (2)
b) Nechť $U={\mathbb{Z}}_6\times {\mathbb{Z}}_6$ a nechť operace $\oplus$ a $\otimes$ jsou definovány následujícím způsobem:
$(a,b)\oplus (c,d)=(a+c\mathrm{mod}6,b+d\mathrm{mod}6)$
$(a,b)\otimes (c,d)=(ad+bc\mathrm{mod}6,cd\mathrm{mod}6)$
Určete, zda $U$ s takto definovanými operacemi tvoří těleso. Pokud si myslíte, že ano, napřed určete, co jsou neutrální prvky $U$ vůči $\oplus$ a $\otimes$. (4)

Které z následujících výroků jsou správně? Zdůvodněte.
a) Nechť $f:V\to W$ a $g:W\to Z$ jsou lineární zobrazení. Pak pokud je $g\circ f$ izomorfismus, je $f$ i $g$ nutně také izomorfismus. (2)
b) Je-li $f:U\to V$ lineární zobrazení a $\left(\begin{array}{c}{b}_1,b_2,\dots ,b_n\end{array}\right)$ je báze vektorového prostoru $U$, potom vektory $f(b_1),\dots ,f(b_n)$ tvoří systém generátorů vektorového prostoru $f(U)$. (2)
c) Je-li $A$ čtvercová matice $n\times n$ hodnosti $n$, pak sloupcový prostor matice $A$ je roven řádkovému prostoru matice $A$. (2)
d) Je-li $V$ vektorový prostor a $U_1,U_2$ jeho podprostory, pak v některých případech může být průnik $U_1\cap U_1$ podprostor $V$, ale obecně podprostorem být nemusí. (2)