Statistika - Kulich 2009

Tak termín 20.1.2009:

1. Dokažte nebo vyvraťte tvrzení : Nechť X má libovolné rozdelení s střední hodnotou mi, g je prostá fce R do R, pak nahodná veličina g(X) ma střední hodnotu g(mi).
   [2]

2. Nechť X je z L^2. Označme mi=EX a sgm^2 = varX. Pomocí Čebyševovy nerovnosti ukažte, že P( |X-mi| >= 3sgm ) <= 1/9.
   [3]

3. Uvažujme náhodný vektor X = (X1,X2)' s distribuční funkcí F a hustotou f vzhledem k Lebesguově míře v R^2. Ukažte, jak spočítat marginální distribuční funkce a marginální hustoty X1 a X2. (Oba vzorce dokažte)
   [3]

4. Nechť X je spojitá náhodná veličina s distribuční funkcí F(x). Jaké rozdělení má náhodná veličina F(X)? (Odvoďte jej.)
   [2]

5. Nechť X-N(0,1) a Z-chi^2 (n stupní volnosti) a jsou nezávislé. Pojmenujte rozdělení náhodné veličiny Y=X/sqrt(Z/n) a odvoďte jeho hustotu.
   [4]

6. Definujte interval spolehlivosti.
   [1]

7. Co je empirická distribuční funkce?
   [1]

Na ústní si taháte lístečky a píšete vše, co o určitém testu víte. Já si vytáhl:

1. Co je statistický test, čím je určen a na jakém principu funguje? Vysvětlete pojmy hladina testu, síla testu, p-hodnotu, asymptotický test

2. Nechť X1..Xn je náhodný výběr s rozdělením Fx z F={ N(mi,sgm^2), mi z R, sgm^2 > 0 neznámé }. Odvoďte test H0: mi=mi0 proti H1: mi<>mi0, spočítejte jeho hladinu a sílu a uveďte vzorec pro p-hodnotu.

Jinak co nám říkal, že na 3 musíte umět vše, ale nic dokázat:)

Já jsem si vytáhl analýzu rozptylu, chtěl k tomu všechno, co jsme si říkali na přednášce. To jsem mu řekl až na to, že jsem měl dost velké problémy s dokázáním toho, že ty sumy čtverců mají chí-kvadrát rozdělení, takže můj výkon ohodnotil na trojku. Naštěstí se mi to s pomocí písemky a doplňující otázky podařilo vytáhnout na dvojku. Ta doplňující otázka byla dokázat Jensenovu nebo Čebyševovu nerovnost (oboje bylo použito v písemce), takže neškodí po písemce si projít to, co v ní bylo. Kulich je docela v pohodě, má dobrou vůli vám dát lepší známku, ale chce to alespoň základní znalosti - věty, definice.

Termin 22. ledna

Ahojky, zadani presne nemam, mozna ho sem hodim pozdeji, az mi ho nekdo vrati :), ale castecne se to shodovalo s priklady, co jsou jiz na foru zmineny. Kulich byl dneska v pohode. Dokonce i pisemka mela u mne vliv na znamku. Vytahla jsem si otazku: Momentova metoda a metoda max. verohodnosti -vlastne vse co vim a plus k tomu byla udana hustota nah. veliciny a mely se pouzit obe metody na "tato data". Vychazelo to strasne, ale kdyz uz jsem to konecne dopocitala, tak mi Kulich rekl, ze to dopocitat vubec nechtel, ze mu stacil postup. Daval doplnujici otazky, zda je vysledny odhad konzistentni a nestranny a proc. Trochu radil a bylo by to na 2, ale jelikoz jsem mela 15 b. ze 16 z ranniho testu, nabidl mi doplnujici otazku na 1 a to byl priklad, ktery je zde na foru jiz nekde zmineny: nah. vyber z Po (lambda) a dokazat, ze n^1/2 *(prumer Xn ^1/2 - lambda^1/2) asymptoticky nezavisi na lambda [hint: CLV a delta metoda].
Jinak co jsem slysela dalsi otazky:
dvovyberove testy na stredni hodnotu
bodove a intervalove odhady + empiricka distribucni fce
analyza rozptylu
zaklady regrese

Good luck

Termín: 3. ÚNOR 2009

1. Spočítejte špičatost rozdělení R(-1/2,1/2). Z tohoto výsledku odvoďte špičatost rozdělení R(a,b) pro libovolná reálná a < b. (4 body)

2. Nechť (X_1, X_2)^T má dvourozměrné normální rozdělení s vektorem středních hodnot mý a varianční matici velke sigma. Dokažte, že z toho plyne, že rozdělení X_1 je N(mý_1,sigma_1^2). (1 bod)

3. Nechť X_1, ..., X_n je náhodný výběr z rozdělení N(mý,sigma^2). Určete rozdělení náhodné veličiny (n-1)*S_n^2/sigma^2 = 1/sigma^2 suma (X_i - průměr X_n)^2. (3 body)

4. Uvažujte náhodný výběr X_1, ..., X_n z rozdělení Po(lambda). Ukažte, že průměr X_n je konzistentní odhad parametru lambda. Navrhněte konzistentní odhad theta_n parametru theta = log(lambda). Najděte asymptotické rozdělení n^(1/2)[theta^_n - log(lambda)]. (4 body)

5. Nechť je dána testová statistika T(tlusté X) a kritický obor C_alfa = {X : |T(X)| >= c_alfa}. Uvažujte jinou testovou statistiku T*(X) definovanou jako T*(X) = g(T(X)), kde g je nějaká spojitá ryze monotónní funkce. Určete kritický obor pro testovou statistiku T*(X) tak, aby výsledný test měl stejnou hladinu jako test původně zadaný.

6. Napište nestranný odhad rozptylu náhodného výběru X_1, ..., X_n z L^2. Dokažte jeho nestrannost. (2 body)

Písemka váhu měla, ale asi zas nebylo potřeba mít přesně 8 bodů a výše, kdo měl méně, měl horší trojku a musel se pak snažit no. 10 b. z 16. je zas lepší trojka, a to se pak musíte snažit na dvojku (asi). Temata jsou stejná jako výše, ale je potřeba počítat s otázkami ze všeho kolem i co s tématem zdánlivě nesouvisí: měl jsem odhady parametru momentovou metodou a maximální věrohodností z konkrétního dost děsnýho rozdělení trochu připomínající hustotou normální a úkolem bylo aplikovat obě metody. Ale např. v momentové metodě musíte být schopní říct, jestli jsou odhady konzistentní a nestranné (to nejsou) a je potřeba to i zdůvodnit (konzistence: věta o spojité transformaci - diskuse její aplikovatelnosti a nestrannost se vyvrací Jensenovou nerovností). U maximální věrohodnosti nebyl žádný problém. Doplňující otázku na dvojku (stále jsem měl po písemce lepší trojku) jsem dostal: intervalový odhad pro rozptyl, což bylo v pohodě.

Zadani terminu z 5.2. je v priloze.

Snad jen mala poznamka k 1, ackoli byla jen za bod, nevim o nikom, kdo by ji mel dobre. Tvrzeni neplati a protiprikladem je Cauchyho rozdeleni. Snazila jsem se ho naopak dokazat, ale Kulich mi tam pripsal, ze to plati jen pro X z L1.

Hodne stesti vsem, co je zkouska ze statistiky jeste ceka!

Attachments:

• statistika.jpg