Problém mnoha částic v kvantové mechanice, symetrie vlnové funkce, skládání momentu hybnosti

Následuje něco málo k těmto tématům.

Problém mnoha částic v kvantové mechanice

Obdobně jako se formuluje problém mnoha částic v teoretické mechanice, formuluje se i v kvantovce. Pro neinteragující systém ∑iH^iψ=Eψ\sum_i \hat H_i \psi = E \psi

Obecně lze ale mnohačásticový hamiltonián napsat jako: H^=∑j=1N−h2mj∇j+V^(r1,..rN)\hat H = \sum_{j=1}^N -\dfrac{h}{2m_j} \nabla_j+\hat V(r_1,.. r_N)

pokud ale částice nenteragují, můžeme jej zapsat jako součet jednočásticových hamiltoniánů H^=∑j=1N(−h2mj∇j+V(rj))=∑H^j\hat H = \sum_{j=1}^N (-\dfrac{h}{2m_j} \nabla_j+V(r_j))=\sum \hat H_j

I když jsou částice neinteragující, stejně je systém velmi složitý. Můžeme ještě napsat Hamiltonián v přítomnosti párových interakcí H^=∑j=1N(−h2mj∇j+V(rj))+∑i=1N∑j=i+1Mu(∣X^j−X^i∣)\hat H = \sum_{j=1}^N (-\dfrac{h}{2m_j} \nabla_j+V(r_j))+\sum_{i=1}^N \sum_{j=i+1}^M u(|\hat X_j- \hat X_i|)

Takovou párovou interakcí je např. coulombovské působení. Další tvary hamiltoniánu mohou být např. přidáním spin-orbitální, spin-spinové interakce apod.

Takže pro soustavu částic, které interagují, už se těžko co spočítá přesně, zvláště je-li jejich počet makroskopický. Vymýšlí se tak různé metody řešení (a malých zanedbání). Např.

  • Teorie středního pole (a rozšíření jako např. metoda Hartree-Fock, Náhodná fáze apod.)

  • Dynamická teorie středního pole

  • Perturbační teorie a Greenovy funkce

  • Konfigurační interakce

  • Monte-Carlo na Hamiltonián

  • Teorie hustotní funkce a další

hlavní uplatnění má v teorii kond. látek - kovy, další materiály.

Vlnová funkce, symetrie a antisymetrie

Mnohačásticový systém obsahuje obecně N částic. Jsou-li částice nerozlišitelné, vlnová funkce takového systému musí být odolná vůči jakékoliv permutaci jejích prvků (jednočásticových vlnových funkcí, které obsahuje). Tedy jakákoliv permutace může vlnovou funkci změnit leda tak o konstnatu - a navíc, pokud je vlnová funkce normovaná, je tato konstanta rovna vždy ∣k∣=1|k|=1.

Z toho vidíme - vlnové funkce tak mohou být buď symetrické (konstanta je jednička), nebo antisymetrické (konstanta je mínus jednička). Důležité ale je, že se charakter vlnové funkce pro systém N nerozlišitelných částic nemůže změnit během samovolného časového vývoje a ani v důsledku vnějších zásahů do něj.

A které systémy tedy mají symetrickou vlnovou funkci a které antisymetrickou - to asi už každý slyšel. Prý to plyne z kvantové teorie pole, ale to já nevím. Každopádně částice se dají rozdělit na ty s celočíselným spinem a se spinem poločíselným. Podle toho se nazývají bosony (řídí se Boseho-Einsteinovou statistikou) a fermiony (řídí se Fermiho-Dirakovou statistikou).

Vlnová funkce symetrická pro bosony a antisymetrická pro fermiony se liší pouze výskytem signum permutace P. Jinak je to stále součet součinů všech jednočásticových vlnových funkcí přes všechny permutace (a normován počtem částic). Tedy alespoň pro systém neinteragujících částic. Jinak je potřeba něco "přidat" pomocí některé z metod uvedených výše.

ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 34: …rt{N!}}\sum_{P}\̲[̲sgn(P)]\varphi_…

tady by stálo říct něco o Slaterových determinantech.

Skládání momentu hybnosti