Státnice%20-%20Fyzika%20NMgr:%20Seznam%20okruhů#4.%20Vlnová%20optika
Doporučuji si přečíst jako úvod Studijní text k ZFP. f(x,y)<->F(ν<sub>x</sub>,ν<sub>y</sub>).
f(x, y)=∫<sub>R</sub>∫<sub>R</sub> F(ν<sub>x</sub>,ν<sub>y</sub>) exp(+2πi(ν<sub>x</sub>x+ ν<sub>y</sub>y)) dν<sub>x</sub> dν<sub>y</sub>
F(ν<sub>x</sub>,ν<sub>y</sub>)=∫<sub>R</sub>∫<sub>R</sub> f(x, y) exp(-2πi(ν<sub>x</sub>x+ ν<sub>y</sub>y)) dx dy
Pozn.: Rovinná harmonická monochromatická vlna (RHMV): U(x,y,z,t)=A exp(-i(ωt-k∙r)); U=komplexní analytický signál. Omezíme se pouze na prostorovou závislost v z=0: U(x,y)=A exp(+i (k<sub>x</sub>x + k<sub>y</sub>y)) = A exp(+i(ν<sub>x</sub>x+ ν<sub>y</sub>y)). Tedy:
ν<sub>i</sub> = k<sub>i</sub>/2π = prostorové frekvence; [ν<sub>i</sub>] = cyklus/metr a k<sub>i</sub> jsou prostorové úhlové frekvence; [k<sub>i</sub>]= rad/m
Budeme počítat (jako v geometrické optice s paraxiálními paprsky) RHMV takové, že se šíří téměř ve směru osy z a složíme skutečnou vlnu jako jejich superpozici (ty skládané RHMV mají různé směry šíření a různé amplitudy, ale STEJNÉ BARVY [shodné vlnové délky=shodné frekvence]). Z principu superpozice plyne, že pokud umím spočíst odezvu systému na RHMV, pak:
Vstupní vlnu rozložím na několik RHMV (viz začátek stránky)
Tyto vlny nechám projít nebo odrazit od systému (to umím spočíst)
Výstup zase sečtu a mám výsledek
Jak na to skládání?
Ozn. θ<sub>x</sub> = úhel mezi rovinou (yz) a vektorem šíření RHMV k = arcsin(k<sub>x</sub>/|k|). Samozřejmě |k| = 2π/λ je velikost vlnového vektoru; všechny RHMV (ze kterých skládám tu skutečnou) mají |k| stejné (protože mají stejnou barvu). V rovině z=0: U(x,y,0)=A exp(+i (k<sub>x</sub>x + k<sub>y</sub>y)) = A exp(+2πi(ν<sub>x</sub>x+ ν<sub>y</sub>y)), proto θ<sub>x</sub> = arcsin(k<sub>x</sub>/|k|) = arcsin(ν<sub>x</sub>λ) = arcsin(λ/Λ<sub>x</sub>). Označili jsme Λ<sub>x</sub> = 1/ν<sub>x</sub>.
U paraxiáních paprsků: θ<sub>x</sub> i θ<sub>y</sub> jsou malé => lze θ<sub>x</sub> = λ/Λ<sub>x</sub> (analogicky pro θ<sub>y</sub>).
Pozn.: θ<sub>x</sub> i θ<sub>y</sub> závisejí na barvě použitého světla.
Amplitudová modulace
Mějme prvek s propustností danou f<sub>0</sub>(x,y). Spočítám F<sub>0</sub>(ν<sub>x</sub>, ν<sub>y</sub>)=FT(f<sub>0</sub>) [FT značí Fourierovu transformaci]
Další výpočet je založen na předpokladu, že f<sub>0</sub> má velké prostorové periody [tzn. Δν<sub>x</sub> i Δν<sub>y</sub> jsou malé, Δν je rozptyl prostorových frekvencí]
Vezmu jiný optický element, jehož propustnost je dána vztahem f<sub>1</sub>(x,y)=f<sub>0</sub>(x,y)exp(+2πi(ν<sub>x0</sub>x+ ν<sub>y0</sub>y)), kde Δν<sub>x</sub> << ν<sub>x0</sub> a Δν<sub>y</sub> << ν<sub>y0</sub>. Tzn. f<sub>0</sub> je vzhledem k exponenciele pomalu se měnící funkce => f<sub>0</sub> je modulovaná amplituda vlny [té komplexní exponenciely].
Nyní spočítám F<sub>1</sub>(ν<sub>x</sub>, ν<sub>y</sub>)=FT(f<sub>1</sub>) a vyjde, že F<sub>1</sub>(ν<sub>x</sub>, ν<sub>y</sub>) = F<sub>0</sub>(ν<sub>x</sub> - ν<sub>x0</sub>, ν<sub>y</sub> - ν<sub>y0</sub>). To je patrné už z posunovacího teorému (když funkci času vynásobím faktorem exp(-2iπνt), pak její FT dává funkční hodnoty o ν posunuté: FT[f exp(-2iπνt)](ν<sub>0</sub>) = FT[f](ν<sub>0</sub>+ν) )
Pozn.: Mřížka sama o sobě díky difrakci velice názorně odchýlí RHMV o úhel θ<sub>x</sub> = d/λ (a to na obě strany). Již z tohoto experimentu je patrné, že optika umí "spočítat" Fourierovu transformaci velice rychle a "zadarmo".
Obecně, pokud podrobněji propočteme spoustu rovností a integrálů a možná i derivací, zjistíme následující věc: Pokud objekt počmáráme soustavou rovnoběžných čar, pak se všechny jeho prostorové úhly posunou o θ<sub>x</sub> = d/λ, kde d=vzdálenost čar a λ=vlnová délka použitého světla (barva). Tato vzdálenost d musí být o hodně menší, než typické rozměry počmáraného objektu.
Příklady:
sférická čočka s ohniskovou vzdáleností f má f(x,y)=exp(-iπ(x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>)/λf)
Fresnellova zónová deska: f(x,y)=1 tam, kde cos(π(x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>)/λf)>0 a f(x,y)=0 jinde
Vypuštění tygra z klece
Soustava nekonečně mnoha štěrbin by měla difrakční obrazec pouze dva body, do kterých by bylo soustředěno všechno příchozí světlo. Zde však selhává představa místa, do kterého toto soustředěné světlo dopadne - není zde nic, jako prostředek mřížky