Legendrovy polynomy

řeší Legendrovu diferenciální rovnici:

:

ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 19: …\over dx} \left\̲[̲ (1-x^2) {d \ov…

Mají generující funkci :$g=1/R=\frac{1}{\sqrt{1-2rcos\theta +r^2}},$

která se dá rozvinout v řadu ${\sum }_{n=0}^{\infty }{r}^n{P}_{(}cos\theta )$

Platí

ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 26: …eta)=1/n! \left\̲[̲\frac{\partial^…

Navíc

$P_n(-cos\theta )=(-1{)}^n{P}_n(cos\theta )$

Jsou sudé funkce pro sudá n a liché pro lichá n.

Rodriguesova formule:

:

ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 50: …er dx^n } \left\̲[̲ (x^2 -1)^n \ri…

Bonnetova recurzní formule:

:$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)x{P}_n(x)-n{P}_{n-1}(x).$

Explicitně: :$P_n(x)=\frac{1}{2^n}{\sum }_{k=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}^2(x-1{)}^{n-k}(x+1{)}^k={\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-n-1}{k}\right){\left(\frac{1-x}{2}\right)}^k=2^n\cdot {\sum }_{k=0}^n{x}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{n+k-1}{2}}{n}\right),$

jsou symetrické a antisymetrické:

:$P_n(-x)=(-1{)}^n{P}_n(x).$

a ortogonální :${\int }_{-1}^1{P}_m(x)P_n(x)dx=\frac{2}{2n+1}{\delta }_{mn}$

Několik příkladů:

:$P_0(x)=1$ :$P_1(x)=x$

:$P_2(x)=1/2(3x^2-1)$ :$P_3(x)=1/2(5x^3-3x)$

:$P_4(x)=1/8(35x^4-30x^2+3)$ :$P_5(x)=1/8(63x^5-70x^3+15x)$

:$P_6(x)=1/(16)(231x^6-315x^4+105x^2-5)$

Mají vlastnost pro dva body, vzdálené od počátku souřadného systému r a r', jejich vzájemná vzdálenost se dá spočítat

:$1/R=1/r{\sum }_{n=0}^{\infty }{\left(\frac{r^{\prime }}{r}\right)}^n{P}_n(cos\gamma )$ pro r >r' a

:$1/R=1/r^{\prime }{\sum }_{n=0}^{\infty }{\left(\frac{r}{r^{\prime }}\right)}^n{P}_n(cos\gamma )$ pro r'>r

==Přidružené Legendrovy polynomy== se vztahují k normálním:

:$P_l^m(x)=(-1{)}^m(1-x^2{)}^{(}m/2)(d^m)/(d{x}^m)P_l(x)=((-1{)}^m)/(2^{l}l!)(1-x^2{)}^{(}m/2)(d^{(}l+m))/(d{x}^{(}l+m))(x^2-1{)}^l$

se váží na sférické harmoniky - řeší se rovnice:

${\nabla }^2\psi +\lambda \psi =0$ a řešení:

$Y_{\ell ,m}(\theta ,\varphi )=\sqrt{\frac{(2\ell +1)(\ell -m)!}{4\pi (\ell +m)!}}{P}_{\ell }^m(\cos \theta )e^{im\varphi }-\ell \le m\le \ell$

Několik přidružených Legendrových polynomů v goniometrické substituci (zdroj - wikipedia):

ParseError: KaTeX parse error: {align} can be used only in display mode.

Sférické harmonické funkce

Jsou to ortogonální řešení úhlové části Laplaceovy rovnice ve sférických souřadnicích:

$\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta }\right)+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}=0$

Separace proměnných -> řešení v goniometických funkcích a Legendrových polynomech.

Řešení s celočíselnými parametry $\ell \ge 0$a m od $-\ell$ do $\ell$ lze psát jako lineární kombinaci:

$U_{\ell ,m}(r,\theta ,\phi )=r^{-1-\ell }{Y}_{\ell }^m(\theta ,\phi )$ a sférické harmoniky Y s parametry l, m:

:$Y_{\ell }^m(\theta ,\phi )=\sqrt{\frac{(2\ell +1)}{4\pi }\frac{(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\cdot e^{im\phi }\cdot P_{\ell }^m(\cos \theta )$

Sférické harmoniky splňují normalizační podmínku

:${\int }_{\theta =0}^{\pi }{\int }_{\phi =0}^{2\pi }{Y}_{\ell }^m{Y}_{{\ell }^{\prime }}^{m^{\prime }\ast }\mathrm{d}\Omega ={\delta }_{\ell {\ell }^{\prime }}{\delta }_{m{m}^{\prime }},\mathrm{d}\Omega =\sin \theta \mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta$

platí pro ně

:$Y_{\ell }^{-m}(\theta ,\phi )={\left(-1\right)}^m{Y}_{\ell }^{m\ast }(\theta ,\phi )$

a splňují relace úplnosti

:$\sum_{\ell=0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{\ell} Y_{\ell}^{m}( \theta , \varphi ) Y_{\ell}^{m*}( \theta ', \varphi ')

= \delta\left(\cos\theta-\cos\theta'\right)\delta\left(\varphi-\varphi'\right),$

Příklady :$Y_0^0(\theta ,\phi )=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{\pi }}$

:$Y_1^{-1}(x)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2\pi }}\cdot e^{-i\phi }\cdot \sin \theta =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2\pi }}\cdot \frac{(x-iy)}{r}$ :$Y_1^0(x)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi }}\cdot \cos \theta =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi }}\cdot \frac{z}{r}$

:$Y_1^1(x)=\frac{-1}{2}\sqrt{\frac{3}{2\pi }}\cdot e^{i\phi }\cdot \sin \theta =\frac{-1}{2}\sqrt{\frac{3}{2\pi }}\cdot \frac{(x+iy)}{r}$

:$Y_2^{-2}(\theta ,\phi )=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{2\pi }}\cdot e^{-2i\phi }\cdot {\sin }^2\theta$

:$Y_2^{-1}(\theta ,\phi )=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{2\pi }}\cdot e^{-i\phi }\cdot \sin \theta \cdot \cos \theta$ :$Y_2^0(\theta ,\phi )=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{5}{\pi }}\cdot (3{\cos }^2\theta -1)$

:$Y_2^1(\theta ,\phi )=\frac{-1}{2}\sqrt{\frac{15}{2\pi }}\cdot e^{i\phi }\cdot \sin \theta \cdot \cos \theta$ :$Y_2^2(\theta ,\phi )=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{2\pi }}\cdot e^{2i\phi }\cdot {\sin }^2\theta$

:$Y_3^0(\theta ,\phi )=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{7}{\pi }}\cdot (5{\cos }^3\theta -3\cos \theta )$