Legendrovy polynomy

řeší Legendrovu diferenciální rovnici:

:

ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 19: …\over dx} \left\̲[̲ (1-x^2) {d \ov…

Mají generující funkci :g=1/R=11−2rcosθ+r2,g = 1/R = \frac{1}{\sqrt{1-2r cos\theta+r^2}},

která se dá rozvinout v řadu ∑n=0∞rnP(cosθ)\sum_{n=0}^\infty r^n P_(cos\theta)

Platí

ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 26: …eta)=1/n! \left\̲[̲\frac{\partial^…

Navíc

Pn(−cosθ)=(−1)nPn(cosθ)P_n(-cos\theta)=(-1)^n P_n(cos\theta)

Jsou sudé funkce pro sudá n a liché pro lichá n.

Rodriguesova formule:

:

ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 50: …er dx^n } \left\̲[̲ (x^2 -1)^n \ri…

Bonnetova recurzní formule:

:(n+1)Pn+1(x)=(2n+1)xPn(x)−nPn−1(x).  (n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x).\,

Explicitně: :Pn(x)=12n∑k=0n(nk)2(x−1)n−k(x+1)k=∑k=0n(nk)(−n−1k)(1−x2)k=2n⋅∑k=0nxk(nk)(n+k−12n),P_n(x)= \frac 1 {2^n} \sum_{k=0}^n {n\choose k}^2 (x-1)^{n-k}(x+1)^k=\sum_{k=0}^n {n\choose k} {-n-1\choose k} \left( \frac{1-x}{2} \right)^k= 2^n\cdot \sum_{k=0}^n x^k {n \choose k}{\frac{n+k-1}2\choose n},

jsou symetrické a antisymetrické:

:Pn(−x)=(−1)nPn(x). P_n(-x) = (-1)^n P_n(x). \,

a ortogonální :∫−11Pm(x)Pn(x) dx=22n+1δmn\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\,dx = {2 \over {2n + 1}} \delta_{mn}

Několik příkladů:

:P0(x)=1P_0(x) = 1 :P1(x)=xP_1(x) = x

:P2(x)=1/2(3x2−1)P_2(x) = 1/2(3x^2-1) :P3(x)=1/2(5x3−3x)P_3(x) = 1/2(5x^3-3x)

:P4(x)=1/8(35x4−30x2+3)P_4(x) = 1/8(35x^4-30x^2+3) :P5(x)=1/8(63x5−70x3+15x)P_5(x) = 1/8(63x^5-70x^3+15x)

:P6(x)=1/(16)(231x6−315x4+105x2−5)P_6(x) = 1/(16)(231x^6-315x^4+105x^2-5)

Mají vlastnost pro dva body, vzdálené od počátku souřadného systému r a r', jejich vzájemná vzdálenost se dá spočítat

:1/R=1/r∑n=0∞(r′r)nPn(cosγ)1/R = 1/r \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{r'}{r} \right)^n P_n(cos \gamma) pro r >r' a

:1/R=1/r′∑n=0∞(rr′)nPn(cosγ)1/R = 1/r' \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{r}{r'} \right)^n P_n(cos \gamma) pro r'>r

==Přidružené Legendrovy polynomy== se vztahují k normálním:

:Plm(x)=(−1)m(1−x2)(m/2)(dm)/(dxm)Pl(x)=((−1)m)/(2ll!)(1−x2)(m/2)(d(l+m))/(dx(l+m))(x2−1)lP_l^m(x) = (-1)^m(1-x^2)^(m/2)(d^m)/(dx^m)P_l(x)=((-1)^m)/(2^ll!)(1-x^2)^(m/2)(d^(l+m))/(dx^(l+m))(x^2-1)^l

se váží na sférické harmoniky - řeší se rovnice:

∇2ψ+λψ=0 \nabla^2\psi + \lambda\psi = 0 a řešení:

Yℓ,m(θ,ϕ)=(2ℓ+1)(ℓ−m)!4π(ℓ+m)! Pℓm(cos⁡θ) eimϕ−ℓ≤m≤ℓ Y_{\ell, m}(\theta, \phi) = \sqrt{\frac{(2\ell+1)(\ell-m)!}{4\pi(\ell+m)!}}\ P_\ell^{m}(\cos \theta)\ e^{im\phi}\qquad -\ell \le m \le \ell

Několik přidružených Legendrových polynomů v goniometrické substituci (zdroj - wikipedia):

ParseError: KaTeX parse error: {align} can be used only in display mode.

Sférické harmonické funkce

Jsou to ortogonální řešení úhlové části Laplaceovy rovnice ve sférických souřadnicích:

1r2∂∂r(r2∂f∂r)+1r2sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂f∂θ)+1r2sin⁡2θ∂2f∂φ2=0 {1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) + {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) + {1 \over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0

Separace proměnných -> řešení v goniometických funkcích a Legendrových polynomech.

Řešení s celočíselnými parametry ℓ≥0\ell \ge 0 a m od −ℓ- \ell do ℓ\ell lze psát jako lineární kombinaci:

Uℓ,m(r,θ,φ)=r−1−ℓYℓm(θ,φ) U_{\ell,m}(r,\theta , \varphi ) = r^{-1-\ell} Y_\ell^m( \theta , \varphi ) a sférické harmoniky Y s parametry l, m:

:Yℓm(θ,φ)=(2ℓ+1)4π(ℓ−m)!(ℓ+m)!⋅eimφ⋅Pℓm(cos⁡θ) Y_\ell^m( \theta , \varphi ) = \sqrt{{(2\ell+1)\over 4\pi}{(\ell-m)!\over (\ell+m)!}} \cdot e^{i m \varphi } \cdot P_\ell^m ( \cos{\theta} )

Sférické harmoniky splňují normalizační podmínku

:∫θ=0π∫φ=02πYℓmYℓ′m′∗ dΩ=δℓℓ′δmm′,dΩ=sin⁡θ dφ dθ\int_{\theta=0}^\pi\int_{\varphi=0}^{2\pi}Y_\ell^mY_{\ell'}^{m'*}\,\mathrm{d}\Omega=\delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'},\quad\quad \mathrm{d}\Omega=\sin\theta\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta

platí pro ně

:Yℓ−m(θ,φ)=(−1)mYℓm∗(θ,φ)Y_{\ell}^{-m}( \theta , \varphi )=\left(-1\right)^m Y_{\ell}^{m*}( \theta , \varphi )

a splňují relace úplnosti

:$\sum_{\ell=0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{\ell} Y_{\ell}^{m}( \theta , \varphi ) Y_{\ell}^{m*}( \theta ', \varphi ')

= \delta\left(\cos\theta-\cos\theta'\right)\delta\left(\varphi-\varphi'\right),$

Příklady :Y00(θ,φ)=121πY_{0}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{1\over \pi}

:Y1−1(x)=1232π⋅e−iφ⋅sin⁡θ=1232π⋅(x−iy)rY_{1}^{-1}(x)={1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\cdot e^{-i\varphi}\cdot\sin\theta\quad={1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\cdot{(x-iy)\over r} :Y10(x)=123π⋅cos⁡θ=123π⋅zrY_{1}^{0}(x)={1\over 2}\sqrt{3\over \pi}\cdot\cos\theta\quad={1\over 2}\sqrt{3\over \pi}\cdot{z\over r}

:Y11(x)=−1232π⋅eiφ⋅sin⁡θ=−1232π⋅(x+iy)rY_{1}^{1}(x)={-1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\cdot e^{i\varphi}\cdot\sin\theta\quad={-1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\cdot{(x+iy)\over r}

:Y2−2(θ,φ)=14152π⋅e−2iφ⋅sin⁡2θY_{2}^{-2}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot e^{-2i\varphi}\cdot\sin^{2}\theta

:Y2−1(θ,φ)=12152π⋅e−iφ⋅sin⁡θ⋅cos⁡θY_{2}^{-1}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot e^{-i\varphi}\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta :Y20(θ,φ)=145π⋅(3cos⁡2θ−1)Y_{2}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{5\over \pi}\cdot(3\cos^{2}\theta-1)

:Y21(θ,φ)=−12152π⋅eiφ⋅sin⁡θ⋅cos⁡θY_{2}^{1}(\theta,\varphi)={-1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot e^{i\varphi}\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta :Y22(θ,φ)=14152π⋅e2iφ⋅sin⁡2θY_{2}^{2}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot e^{2i\varphi}\cdot\sin^{2}\theta

:Y30(θ,φ)=147π⋅(5cos⁡3θ−3cos⁡θ)Y_{3}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{7\over \pi}\cdot(5\cos^{3}\theta-3\cos\theta)