Sylabus

Fázový prostor, rozdělovací funkce. Liouvilleova rovnice. Základní statistická rozdělení. Entropie ve statistické fyzice.

Státní závěrečná zkouška

Fázový prostor, rozdělovací funkce

Fázový prostor

je ortogonální prostor, jehož osami jsou kanonické proměnné $q_i$ (zobecněné souřadnice) a $p_i$ (zobecněné hybnosti). Mikrostav systému lze v daném čase $t$ znázornit bodem ve fázovém prostoru. Změnu stavu systému lze znázornit jako pohyb bodů ve fázovém prostoru - fázová trajektorie. Tento pohyb se řídí Hamiltonovými kanonickými rovnicemi, viz 1b. Mechanika hmotného bodu a soustav hmotných bodů - analytická mechanika.

Fázový prostor můžeme rozdělit na konfigurační - souřadnice a impulsový - hybnosti.

Element objemu fázového prostoru se určí jako $ d \Omega= \frac{dqdp}{N!h^{3N}}= \frac{dq_1 dq_2 ...dq_N dp_1 ...dp_N}{N!h^{3N}}

$

kde $N$ je dimenze konfiguračního prostoru, N! je oprava na nerozlišitelnost a $h^{3N}$ souvisí s relacemi neurčitosti. Dimenze fázového prostoru je $2N$. Pro 1 částici to je 6D prostor.

Fázová trajektorie konzervativního systému leží na energetické nadploše $\hat{H}(p,q)=E$ a fázový objem příslušný stavům, jejichž energie nepřesahuje hodnoty $E$ je $\Omega ={\int }_{H<=E}d\Omega$

Fázová extenze = objem fázového prostoru, který má soustava k dispozici.

Pro jednoatomový ideální plyn lze snadno spočíst objem fázového prostoru. Integrace přes konfigurační prostor dá $V^N$, přes impulsový dostane objem 3N rozměrné koule o poloměru $p=\sqrt{2mE}$, celkem vyjde

$ \Omega (E)= \frac {1} {N! h^{3N}} V^N (2 \pi m)^{3/2 N} \frac {E^{3/2N-1}} {\Gamma(3/2N-1)}

$

Rozdělovací funkce

Stav souboru v libovolném časovém okamžiku lze zobrazit množinou reprezentujících bodů ve fázovém prostoru. Každý takový bod se pohybuje nezávisle na ostatních, jejich trajektorie leží obecně v různých částech fázového prostoru. Počet systémů $dv$, jejichž stav v čase $t$ leží v elementu fázového prostoru je úměrný počtu členů souboru a lze ho vyjádřit jako

$dv(p,q,t)=v\rho (p,q,t)d\Omega$

Funkci $v\rho$ nazýváme fázovou hustotou.

Funkce $\rho$ určuje relativní zastoupení jednotlivých stavů ve fázovém prostoru a nazýváme jí Rozdělovací funkcí.

Pravděpodobnost toho, že stav namátkou vybraného systému bude v čase $t$ v $d\Omega$ je dán jako $dw=\frac{dv}{v}=\rho d\Omega$

Rozdělovací funkce splňuje normovací podmínku $1=\int \rho d\Omega$

Známe-li $\rho$, můžeme určit střední hodnotu dynamických veličin:

$\overline{F(t)}=\int F(p,q)\rho (p,q,t)d\Omega$

Pro volnou částici v potenciálové jámě o šířce $\Delta$ má rozdělovací funkce tvar

$

\rho= \frac {1}{Z} exp(-\beta \frac {p^2}{2m}) \Theta (1-q^2 \frac {4}{\Delta}) $

kde $\Theta (x)$ je Heviasidova skoková funkce a $Z$ stavová suma, viz. dále.

Liouvilleova rovnice

Toto téma bych spojila s tím předchozím, protože jsme k oběma toho moc nebrali

Změna stavu systému je popsána pohybem reprezentativního bodu ve fázovém prostoru. Tuto změnu lze interpretovat jako spojitou posloupnost transformací, zobrazující fázový prostor sám na sebe. Toto zobrazení je analogické k proudění kapalin. Díky této analogii dostane rovnici kontinuity pro rozdělovací funkci

ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 68: …al t} + \sum_i \̲[̲\frac {\partial…

nebo pomocí poissonových závorek

$

\frac {\partial \rho} {\partial t} = {H(p,q); \rho (p,q,t) } $

kterou nazýváme Liouvilleova rovnice.

Je to rovnice pro pohyb "obláčku teček" ve fázovém prostoru, hustota teček v obláčku je popsána rozdělovací funkcí $\rho$. Je důsledkem Hamiltonových pohybových rovnic. Abychom ji mohli vyřešit, je potřeba zadat počáteční podmínky - tvar obláčku v $t_0$.

$ \rho (p,q,t_0) = \rho _0 (p,q)

$ Vyřešením získáme pohyb obláčku: jak se pohybuje, mění jeho tvar a hustota.

V termodynamické rovnováze obláček dospěje do rovnovážného stavu a dále se již nemění.

$ \lim _{t \to \infty} \rho (p,q,t) = \rho _{eg} (p,q)

$

Rovnovážná distribuce má tvar $

\rho _{eg} (p,q) = \frac {e^ {-\beta H (p,q)} } {Z} $

Kvantově mechanicky

$ i \hbar \frac {\partial \hat { \rho}} {\partial t} = [\hat { H(p,q)};\hat{ \rho} (p,q,t) ]

$

je $\hat{\rho }(p,q,t)$ matice hustoty smíšených stavů.

V teoretické mechanice jsme brali Liouvilleovu větu:

Každý časový vývoj se dá chápat jako kanonická transformace. Nebo viz 1b. Mechanika hmotného bodu a soustav hmotných bodů - analytická mechanika dole:

Objem fázového prostoru je invariantní vůči kanonickým transformacím.

Základní statistická rozdělení

Úloha statistických rozdělení je popsat systémy částic a zaplnění energetických hladin. Můžeme uvažovat tři typy statistik:

1. Maxwell-Boltzmannova statistika - mám plně rozlišitelné částice

2. Bose-Einsteinova statistika - plně nerozlišitelné částice

3. Fermi-Diracova - hybrid mezi prvníma dvěma, mám nerozlišitelné částice, které když uspořádám do energetických hladin, stanou se rozlišitelné, tedy na každou hladinu můžu umístit jenom jednu částici, přičemž nezáleží na poradí.

Bolzmannovo rozdělení

Při odvození Bolzmanova rozdělení vycházíme ze vztahu pro informační entropii

$ S=-k_B \sum_{i=1}^k p_i ln p_i

$, viz. následující otázka.

Tento výraz se snažíme maximalizovat s ohledem na vazebné podmínky $\sum p_i=1$

a $u=\sum {ϵ}_i{p}_i$,

která udává celkovou energii, kterou má soustava k dispozici. ${ϵ}_i$ jsou velikosti jednotlivých energetických hladin. K výpočtu se používá metoda Lagrangeových multiplikátorů, kdy hledáme vázaný extrém funkcionálu s multiplikátory $\alpha$ a $\beta$:

ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 22: … {S}=S+ \alpha \̲[̲\sum p_i -1 ]+ …

Tohoto postupu bylo použito v příkladu s kostkou. Máme zadán střední počet ok na kostce- vnitřní energii a snažíme se najít pravděpodobnosti jednotlivých stěn. Využívá se matoda Max Ent- když nemáme dostatek informací o systému, maximalizujeme informační entropii.

Derivací $S$ podle hledaného parametru $p_i$ získáme vztahy

$

p_i = \frac {e^{-\beta \epsilon _i}} {Z (\beta)} $

kde $

Z= \sum e^{-\beta \epsilon _k} $ se nazývá stavová suma.

Hodnotu parametru $\beta =\frac{1}{k_{B}T}$ získáme ze vztahu

$ \sum \epsilon _i \frac {e^{-\beta \epsilon _i}} {Z (\beta)} = u

$

Získaný vztah pro pravděpodobnost jednotlivých stavů se nazývá Bolzmonovo rozdělení.

Jiná metoda odvození: Hledáme taková obsazovací čísla (viz. další otázka), aby při přesunutí dvou částic do jiných energetických hladin (při zachování celkové vnitřní energie) se nezměnila multiplicita. Systém totiž zaujímá stav s nejvyšší entropií, tedy multiplicitou a kdyby při přeskoku do jiných hladin multiplicita vzrostla, systém by nebyl stabilní a snažil by se dostat do stavu s maximální multiplicitou.

Těmito úvahami dojdeme ke vztahu, že podíl dvou sousedních obsazovacích čísel pro ekvidistatntní hladiny musí byt konstatní a menší než 1. Tento podíl je $

e^{-\beta \epsilon} \ $

Dostáváme tak vztah pro jednotlivá obsazovací čísla

$ n_i=n_0 e^{-\beta \epsilon _i}

$.

$n_0=\frac{N}{Z}$ se určí z normalizační podmínky pro počet částic na všech hladinách $N=\sum n_i$

Získáváme stejný vztah jako předchozím postupem:

$

\frac {n_i}{N} = \frac {e^{-\beta \epsilon _i}} {Z (\beta)} $

Pro ekvidistantní hladiny je Bolzmanovo rozdělení geometrická posloupnost. Při teplotě 0K je obsazena pouze nultá hladina, při zvyšování teploty nebo dodávání cekové energie se obsazují stále vyšší hladiny. V limitě $T=\infty K$ jsou všechny hladiny stejně obsazeny.

Maxwell-Bolzmannovo

(Takhle: mám tři věci. Boltzmannovo rozdělení, Maxwell-Boltzmannovu statistiku a Maxwell-Boltzmannovu distribuci. Boltzmannovo rozdělení mluví o maximální okupanci jednotlivých hladin. Je jedno, jakými částicemi. Navíc, toto rozdělení můžu modifikovat podle toho, zda-li mluvím o Grandkanonickém nebo Kanonickém souboru - i když Boltzmann to odvodil zejména pro kanonický a samotné platí pro kanonický, změna bude jenom v partiční funkci. Maxwell-Boltzmannovu distribuci dostanu z Boltzmannova rozdělení, když substituuji energii na rychlosti. A nakonec Maxwell-Boltzmannova statistika mluví o statistickém rozdělení středních okupancí jednotlivých hladin, tedy ne o maximální okupanci, ale o průměrné okupanci. To je rozdíl, pozor!)

Jedná se o nejpravděpodobnější rozdělení. Házíme $N$ míčků do $k$ buněk, přičemž do $i$-té buňky se vleze maximálně $n_i$ míčků.

Bose-Einsteinovo

Fermi-Diracovo

Entropie ve statistické fyzice

poznámky