Sylabus

1b. D'Alembertův princip. Lagrangeovy rovnice 2. druhu. Hamiltonovy kanonické rovnice.

Státní závěrečná zkouška

D'Alembertův princip

(1742)

Síly mechanické soustavy jsou v rovnováze, přičteme-li k silám vtištěným síly setrvačné.

Vtištěné síly jsou "opravdové" síly známého charakteru (gravitační, elektromagnetická, ... )

Matematicky pro soustavu $N$ hmotných bodů

$ \sum_{i=1}^{3N} (m^i \ddot{x}^i-F_i) \delta x^i=0

$

kde $\delta x^i$

jsou virtuální posunutí (klasicky: nekonečně malá posunutí, která jsou v každém okamžiku v souladu s vazbami, geometricky: vektory z tečného prostoru vazby). Vazby zde představují omezení jinak volného pohybu (nejjednodušším případem vazby je např. matematické kyvadlo).

Vazby (popsané rovnicí $\phi (r)=0$) dělíme podle několika základních kritérií

• podle geometrie

  • oboustranná: $\phi (r)=0$

  • jednostranná: $\phi (r)\ge 0$

• podle závislosti na čase

  • skleronomní (nezávislá na čase): $\phi (r)$

  • rheonomní (měnící se s časem): $\phi (r,t)$

• podle závislosti na rychlosti

  • holonomní (nezávislá na rychlosti): $\phi (r,t)$

  • neholonomní (závislá na rychlosti): $\phi (r,t,v)$

D'Alembertův princip platí jen pro vratná virtuální posunutí, tedy taková virtuální posunutí $\delta x^i$, pro která platí, že i $-\delta x^i$ je virtuální posunutí. Pro nevratná virtuální posunutí ($-\delta x^i$ není virtuální posunutí) platí úprava D'Alembertova principu s nerovností.

Speciální případy D'Alembertova principu:

• Newtonovy pohybové zákony - pohyb bez vazeb: $\delta x^i$ je zcela libovolné. Z toho plyne, že

$

(m^i \ddot{x}^i-F_i) = 0\ \ \ \ \ \ \forall i $

Ekvivalentně

$

m^i \ddot{x}^i = F_i $

• Princip virtuální práce (Johann Bernoulli, 1717)

Žádný pohyb (statika): ${\ddot{x}}^i=0$ a tedy platí

$ \sum_{i=1}^{3N} F_i \delta x^i=0

$

(práce - součin síly a posunutí). Princip virtuální práce říká, že práce systému při virtuální výchylce z rovnovážné polohy je nulová (umožňuje tedy najít rovnovážnou polohu). Formálně lze psát $\delta A=0$.

Speciálně pro konzervativní síly platí

$ 0 = \delta A = \sum_{i=1}^{3N} F_i \delta x^i= - \sum_{i=1}^{3N} \frac{\partial V}{\partial x^i} \delta x^i = - \delta V(x^j)

$

jednoduše $\delta V=0$, tedy změna potenciálu je při virtuálním posunutí nulová $\Rightarrow$ v rovnováze má potenciál extrém (labilní, stabilní, indiferentní rovnováha).

Lze dokázat, že D'Alembertův princip je ekvivalentní Lagrangeovým rovnicím I. druhu (pro $N$ hmotných bodů a $v$ vazeb):

$ m^i \ddot{x}^i = F_i + \sum_{k=1}^v \lambda_k \frac{\partial \varphi_k}{\partial x^i}

$

s vazbami

$ \varphi_k,(x^j,t)=0

$

($i=1,2,...,3N$, $j=1,2,...,3N$ a $k=1,2,...,v$). $F_i$ je i-tá komponenta výslednice vtištěných sil, ${\lambda }_k$ jsou Lagrangeovy multiplikátory. Celkem máme $3N+v$ rovnic pro stejný počet neznámých.

Lagrangeovy rovnice II. druhu

Pro efektivnější popis systému je vhodné zavést zobecněné souřadnice $q^1,q^2,...,q^n$ (vhodně zvolené libovolné parametry, které jednoznačně popisují všechny možné konfigurace systému). Používáme $n$ zobecněných souřadnic, kde $n=3N-v$ je počet stupňů volnosti systému. Dále předpokládáme, že existuje regulární vztah $x^i=x^i(q^1,q^2,...,q^n)$ ($x^i$ jsou kartézské složky poloh jednotlivých hmotných bodů).

Zobecněné souřadnice popisují konfigurační prostor $Q$ všech možných poloh (konfigurací) systému, což ale není prostor fyzikálních stavů - vypovídá jen o polohách (Zénonův paradox - poloha neurčuje stav systému, rychlost nepoznám z polohy). Proto $Q$ doplníme o rychlostní parametry ${\dot{q}}^1,{\dot{q}}^2,...,{\dot{q}}^n$, zobecněné rychlosti (dodatečné parametry nezávislé na poloze). Formálně $

\frac{\partial q^i}{\partial q^j}=\delta_{ij} $ a

$ \frac{\partial \dot{q}^i}{\partial \dot{q}^j}=\delta_{ij}

$,ale$

\frac{\partial \dot{q}^i}{\partial q^j}=0 $ a

$ \frac{\partial q^i}{\partial \dot{q}^j}=0

$.

Pro $N$ hmotných bodů a $v$ vazeb můžeme psát Lagrangeovy rovnice II. druhu (LR II)

$ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}^j}\right)-\frac{\partial T}{\partial q^j}=Q_j

$

kde $T(q^j,{\dot{q}}^j,t)=\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^{3N}{m}^i{\left(\frac{\partial x^i}{\partial q^k}{\dot{q}}^k+\frac{\partial x^i}{\partial t}\right)}^2$ je kinetická energie a $Q_j:={\sum }_{i=1}^{3N}{F}_i\frac{\partial x^i}{\partial q^j}$ zobecněná síla. Tyto rovnice představují soustavu $n=3N-v$ obyčejných diferenciálních rovnic pro stejný počet neznámých $q^j(t)$.

Speciálně pokud jsou síly $F_i$ konzervativní, lze obecně komplikované složky zobecněné síly $Q_j$ vyjádřit pomocí jediné skalární veličiny - potenciálu $V$ (neboť $F_i=-gradV$). Konkrétně

$

Q_j = \sum_{i=1}^{3N} F_i \frac{\partial x^i}{\partial q^j} = - \sum_{i=1}^{3N} \frac{\partial V}{\partial x^i} \frac{\partial x^i}{\partial q^j} = - \frac{\partial V}{\partial q^j} $

Lagrangeovy rovnice II. druhu lze pak přepsat do tvaru

$

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}^j}\right)-\frac{\partial T}{\partial q^j} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial V}{\partial \dot{q}^j}\right)-\frac{\partial V}{\partial q^j} $

neboť $\frac{\partial V}{\partial {\dot{q}}^j}=0$ (potenciál $V$ je funkcí pouze $q^j$, ale nezávisí na ${\dot{q}}^j$ ani na $t$). Celkem tedy můžeme psát Lagrangeovy rovnice II. druhu pro konzervativní síly

$

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j}\right)-\frac{\partial L}{\partial q^j} = 0 $

kde $L:=T-V$ je Lagrangeova funkce (lagrangián) ($L({\dot{q}}^j,q^j,t)$).

Pro některá silová pole lze nalézt tzv. zobecněný potenciál $V({\dot{q}}^j,q^j,t)$ (narozdíl od "normálního" potenciálu závisí i na rychlosti a na čase). To je případ třeba elektromagnetické interakce. Předchozí rovnice pro konzervativní pole pak platí pro Lagrangeovu funkci vypočtenou právě ze zobecněného potenciálu.

Integrály pohybu (IP)

Integrál pohybu je nějaký výraz $f(q^j,{\dot{q}}^j,t)$, který zůstává v čase konstantní pro skutečný pohyb. Neboli $f(q^j,{\dot{q}}^j,t)=f(q^j(t),{\dot{q}}^j(t),t)=f(t)=konst\forall t$ (zde $q^j(t)$ jsou trajektorie řešící LR II. Pro různé trajektorie $q^j(t)$ je přitom příslušná hodnota $f(t)=konst$ obecně různá).

Existují věty užitečné při hledání integrálů pohybu:

• a) Pokud Lagrangeova funkce $L$ nezávisí na některé zobecněné souřadnici $q^i$, pak výraz $\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^i}$ je integrálem pohybu. Říkáme, že $q^i$ je cyklická.

• b) Pokud Lagrangeova funkce $L$ nezávisí explicitně na čase $t$, pak výraz $h(q^j,{\dot{q}}^j):={\sum }_{j=1}^n\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^j}{\dot{q}}^j-L$ je integrálem pohybu. Tento výraz $h$ se nazývá zobecněná energie.

Pokud jsou působící síly konzervativní a pokud vazby jsou holonomní a skleronomní, pak platí $h=T+V$. Obecně rheonomní vazby dodávají / odebírají systému energii a proto se $T+V$ nezachovává, může se ale zachovávat $h$ (za předpokladů uvedených výše).

Pohyb částice v centrálním poli

je důležitou aplikací Lagrangeova formalismu. Lagrangeova funkce má v tomto případě tvar

$

L = \frac{1}{2} m (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\varphi}^2) - V(r) $

Zřejmě $\phi$ je cyklická $\Rightarrow$ $\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi }}=m{r}^2\dot{\phi }=l=konst$, což je známý zákon zachování momentu hybnosti $l$ (konkrétně jeho $z$-ové složky).

Navíc $L$ nezávisí explicitně na čase $\Rightarrow$ $h=konst$, zde dokonce $h=T+V=E=konst$ (zákon zachování celkové mechanické energie).

Dosazením obou rovnic do výrazu pro lagrangián po krátkých úpravách dostáváme

$

\dot{r}^2 + \frac{l^2}{m^2 r^2}= \frac{2}{m} \left[ E - V(r) \right]\ \ \ \ \ \ \ \ \ (\star) $

Pro určení trajektorie ($r(\phi )$) použijeme následující trik: Zavedeme funkci $u(\phi )=\frac{1}{r(\phi )}$. Zjevně platí

$

\dot{r}(t) = \frac{d r (t)}{d t} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{u(\varphi(t))}\right) = - \frac{1}{u^2} \frac{d u}{d \varphi} \dot{\varphi} = - \frac{l}{m} \frac{d u}{d \varphi} $

(v poslední rovnosti jsme dosadili ze zákona zachování hybnosti). Dosazením tohoto výrazu do rovnice $(\star )$ a zderivováním podle $\phi$ po jednoduchých úpravách dostaneme Binetův vzorec pro pohyb částice v libovolném centrálním poli

$

\frac{d^2 u}{d \varphi^2} + u = - \frac{m}{l^2} \frac{d V}{d u} $

(zadáním konkrétního tvaru potenciálu $V(u)$ dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu pro funkci $u(\phi )$, z jejího řešení pak snadno získáme $r(\phi )=\frac{1}{u(\phi )}$).

Metoda efektivního potenciálu

Umožňuje kvalitativní rozbor možných pohybů bez explicitního řešení příslušné diferenciální rovnice. Rovnici $(\star )$ upravím do tvaru

$

\dot{r}^2 = \frac{2}{m} \left[ E - \left( V(r) + \frac{l^2}{2 m r^2} \right) \right] = \frac{2}{m} \left[ E - V_{ef}(r) \right] \geq 0 $

Pohyb je tedy možný jen pro taková $r$, pro která $V_{ef}(r)\le E$. V místě $V_{ef}(r)=E$ ($\dot{r}=0$) je tzv. bod obratu v radiálním směru (radiální složka rychlosti je nulová, pohyb blíže ke zdroji centrálního pole již není možný).

Pohyb dvou těles

Studujme pohyb 2 objektů ($m_1,r_1,m_2,r_2$) se vzájemnou gravitací. Lagrangián problému má tvar

$L=\frac{1}{2}{m}_1{\dot{r}}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{\dot{r}}_2^2+\frac{G{m}_1{m}_2}{|r_1-r_2|}$

Úlohu lze snadno převést na úlohu v centrálním poli: Zavedeme nové souřadnice - polohu těžiště soustavy

$R=\frac{m_1{r}_1+m_2{r}_2}{m_1+m_2}$

a relativní polohu

$r=r_1-r_2$

Lagrangián má teď jiný tvar

$L=\frac{1}{2}(m_1+m_2){\dot{R}}^2+\frac{1}{2}\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}{\dot{r}}^2+\frac{G{m}_1{m}_2}{r}$

Zjevně $R$ je cyklická souřadnice $\Rightarrow$ $\frac{\partial L}{\partial \dot{R}}=(m_1+m_2)\dot{R}=konst$. Celková hybnost je konstantní, těžiště se pohybuje rovnoměrně přímočaře - s výhodou lze přejít do těžišťové soustavy, kde $R=0$. Lagrangián lze ještě zjednodušit na

$L=\frac{1}{2}\mu {\dot{r}}^2+\frac{G{m}_1{m}_2}{r}=T-V$

Zde $\mu =\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}$ je tzv. redukovaná hmotnost. Pohyb dvou těles jsme převedli na problém pohybu v centrálním poli.

Hamiltonovy kanonické rovnice

Další možnost k popisu systému nabízí Hamiltonův formalismus. Hamiltonův formalismus je matematickým konstruktem, při kterém z Lagrangeovy funkce přejdeme Legendreovou transformací k jisté funkci $H(q^i,p_i,t)$, kterou označíme Hamiltoniánem. Konfigurační prostor pak nahradíme fázovým prostorem. Ten je tvořen zobecněnými souřadnicemi $q^i$ a kanonicky sdruženými hybnostmi $p_i$. Jak je známo z vlastností Legendreovy transformace, při tomto procesu neztrácíme žádnou informaci a bod ve fázovém prostoru plně určuje stav systému(závěr: stačí si pamatovat, že přechod od L k H je Legendreova transformace, všechno ostatní je na 5min odvození z tohoto faktu).

Kanonické hybnosti jsou definovány vztahem

$ p_i := \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \ \ \ \ \ \ \ \ \ (+)

$

K popisu systému pak stačí znát Hamiltonovu funkci (hamiltonián)

$H(q^i,p_i,t)={\sum }_{i=1}^n\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^i}{\dot{q}}^i-L(q^i,{\dot{q}}^i,t)={\sum }_{i=1}^n{p}_i{\dot{q}}^i-L(q^i,{\dot{q}}^i,t)$

kde za zobecněné rychlosti ${\dot{q}}^i$ dosazujeme z inverze vztahu $(+)$.

Pohybovými rovnicemi tohoto formalismu jsou Hamiltonovy kanonické rovnice (HKR)

$ \frac{\partial H}{\partial p_i} = \frac{d q^i}{d t} = \dot{q}^i

$

$ \frac{\partial H}{\partial q^i} = - \frac{d p_i}{d t} = - \dot{p}_i

$

Pokud hamiltonián nezávisí explicitně na čase, pak je integrálem pohybu, neboť

$ \frac{d}{d t} \left( H(q^i(t), p_i(t)) \right) = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial H}{\partial q^i} \dot{q}^i + \frac{\partial H}{\partial p_i} \dot{p}i \right) = \sum{i=1}^n \left( -\dot{p}_i \dot{q}^i + \dot{q}^i \dot{p}_i \right) = 0

$

Zavedeme Poissonovy závorky

$ {u,v} := \sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial q^i} \frac{\partial v}{\partial p_i} - \frac{\partial v}{\partial q^i} \frac{\partial u}{\partial p_i}

$

speciálně $\{q^r,q^s\}=0$, $\{p_r,p_s\}=0$, $\{q^r,p_s\}=\delta rs$. Poissonovy závorky jsou lineární a splňují Jacobiho identitu

$ {w,{u,v}} + {v,{w,u}} + {u,{v,w}} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ (J)

$

Je-li $u(q^i,p_i)$ integrálem pohybu, lze psát

$0=\frac{du}{dt}={\sum }_{i=1}^n\frac{\partial u}{\partial q^i}{\dot{q}}^i+\frac{\partial u}{\partial p_i}{\dot{p}}_i={\sum }_{i=1}^n\frac{\partial u}{\partial q^i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial u}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q^i}=\{u,H\}$

čili $\{u,H\}=0$. Předpokládejme navíc, že také $v(q^i,p_i)$ je IP ($\iff$ $\{v,H\}=0$). Použitím $(J)$ dostáváme

$

{{u,v},H} = - {{v,H},u} - {{H,u},v} = 0, $

tedy $\{u,v\}$ je také IP. Většinou ale není nezávislým IP.

Pomocí Poissonových závorek můžeme HKR psát ve tvaru

$

\dot{q}^i = {q^i,H} $

$

\dot{p}_i = {p_i,H} $

Kanonické transformace

Zkoumáme změnu parametrizace fázového prostoru, tedy transformaci $(q^i,p_i)\to (Q^i,P_i)$

Def.: transformace je kanonická, pokud zachovává kanonickou strukturu, tzn. že pohybové rovnice v nových souřadnicích jsou opět HKR. Ekvivalentně, že existuje funkce

ParseError: KaTeX parse error: Got group of unknown type: 'internal'

$

\frac{\partial H'}{\partial P_i} = \frac{d Q^i}{d t} = \dot{Q}^i $

$

\frac{\partial H'}{\partial Q^i} = - \frac{d P_i}{d t} = - \dot{P}_i $

(zdaleka ne každá transformace je kanonická). Hledání podmínek kanoničnosti transformace vede na následuící větu:

Lagrangeova funkce $L+\frac{dF}{dt}$, kde $F$ je libovolná (hladká) funkce, dává stejné pohybové rovnice jako funkce $L$. Tuto funkci $F$ nazýváme generující funkcí kanonické transformace, přičemž předpokládáme, že závisí na

• starých souřadnicích / hybnostech

• nových souřadnicích / hybnostech

Rozlišujeme 4 druhy generujících funkcí, které jsou vzájemně svázány Legendreovou duální transformací:

$ F_1,(q^i, Q^i, t)

$

$ F_2,(q^i, P_i, t) = F_1 + \sum_{i=1}^n P_i Q^i

$

$ F_3,(p_i, Q^i, t) = F_1 - \sum_{i=1}^n p_i q^i

$

$ F_4,(p_i, P_i, t) = F_1 + \sum_{i=1}^n P_i Q^i - \sum_{i=1}^n p_i q^i

$

(analogie s termodynamikou $F_1\sim U,F_2\sim H,F_3\sim F,F_4\sim G,q\sim S,Q\sim V,p\sim T,P\sim p$). Kanonické transformace tvoří grupu.

Jak prakticky ověřit, že daná transformace je kanonická?

• 1 Pomocí Poissonových závorek: transformace $(q^i,p_i)\to (Q^i,P_i)$ je kanonická $\iff$ $\{Q^i,P_j\}={\delta }_{ij},\{Q^i,Q^j\}=0,\{P_i,P_j\}=0$.

• 2 Pomocí následující tabulky (konkrétně z libovolného řádku třetího sloupce)

\frac{\partial P}{\partial q} & \frac{\partial P}{\partial p} \end{vmatrix} = \frac{\partial Q}{\partial q} \frac{\partial P}{\partial p} - \frac{\partial Q}{\partial p} \frac{\partial P}{\partial q} = {Q,P} = 1 $kdeposledn\acute{ı}rovnostplynezkanoni\check{c}nostitransformace.==Hamiltonova-Jacobihoteorie==Jednazdal\check{s}\acute{ı}chformulac\acute{ı}analytick\acute{e}mechaniky.Vyu\check{z}ijemekanonickoutransformacigenerovanounap\check{r}.funkc\acute{ı}$ F_1,(q^j,Q^j,t) $:$ \frac{\partial F_1}{\partial q^i} = + p_i \ \ \ \ \ \ (1) \frac{\partial F_1}{\partial Q^i} = - P_i \ \ \ \ \ \ (2) H'(Q^j,P_j,t) = H(q^j,p_j,t) + \frac{\partial F_1}{\partial t} \ \ \ \ \ \ (3) $p\check{r}i\check{c}em\check{z}vnov\acute{y}chsou\check{r}adnic\acute{ı}chop\check{e}tplat\acute{ı}HKR:$ \frac{\partial H'}{\partial P_i} = \frac{d Q^i}{d t} = \dot{Q}^i \ \ \ \ \ \ (4) \frac{\partial H'}{\partial Q^i} = - \frac{d P_i}{d t} = - \dot{P}_i \ \ \ \ \ \ (5) $Nav\acute{ı}czvol\acute{ı}mespeci\acute{a}ln\acute{ı}generuj\acute{ı}funkci$ S,(q^i,Q^i,t) = F_1 $takovou,\check{z}epotransformaci$ H' = 0, $.Zrovnic$ (4) $a$ (5) $dost\acute{a}v\acute{a}me$ Q^i = konst = \alpha^i, P_i = konst = - \beta_i, $avztah$ (2) $p\check{r}ep\acute{ı}\check{s}emena$ \frac{\partial S(q^j,\alpha^j,t)}{\partial \alpha^i} = \beta_i $Inverz\acute{ı}z\acute{ı}sk\acute{a}me\check{r}e\check{s}en\acute{ı}$ q^j,(t,\alpha^i,\beta_i) $.Funkce$ S $senaz\acute{y}v\acute{a}\ast akce\ast (\ast ak\check{c}n\acute{ı}funkcion\acute{a}l\ast )aur\check{c}\acute{ı}mejiz\ast \ast \ast Hamiltonovy-Jacobihorovnice\ast \ast \ast :$ H\left(q^i,\frac{\partial S}{\partial q^i},t\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 $ Státní závěrečná zkouška|