=Sylabus=
''Maxwellovy rovnice a jejich základní důsledky Elektromagnetické potenciály a jejich vlastnosti. Zákony zachování v teorii elektromagnetického pole. Vlastnosti stacionárních, kvazistacionárních a nestacionárních polí. ''
[[Státní závěrečná zkouška]]
=Soustava Maxwellových rovnic=
K popisu elektromagnetického pole slouží veličiny:
* intenzita elektrického pole <math>\mathbf{E}</math> a magnetická indukce <math>\mathbf{B}</math>. V bodě prostoročasu je pole <math>\mathbf{E,B}</math> tehdy, je-li síla působíci na testovací částici náboje <math>e</math> a hmotnosti <math>m</math> rovna
<math>
\mathbf{F} = q(\mathbf E + \mathbf v \times \mathbf B)
</math>
což je '''Lorentzova síla'''. Tento vztah je úplně správný: v relativistickém případe platí pohybová rovnice pro částici:
<math>
\mathbf F = q(\mathbf E + \mathbf v \times \mathbf B) = \frac{d(\gamma m \mathbf v)}{dt}
</math>
Pole '''E, B''' jsou skutečná pole, zodpovědná za změnu hybnosti nabitých částic. Maxwellovy rovnice pro ně zní
<br/> <math> \mathrm{div}\, \mathbf{E}=\rho </math>
<br/> <math> \mathrm{div}\, \mathbf{B}=0</math>
<br/> <math> \mathrm{rot}\, \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math>
<br/> <math> \mathrm{rot}\, \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{j}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math>
V látkovém prostředí může být užitečné zavést další veličiny
* elektrickou indukci <math>\mathbf{D}</math> a magnetickou intenzitu <math>\mathbf{H}</math>. Ty jsou ''definovány'' vztahy
<math>
\mathbf{D} = \epsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P},~~~\mathbf{B} = \mu_0 ( \mathbf{H} + \mathbf{M} )
</math>
kde <math>\epsilon_0 = \frac{10^7}{4\pi c^2} \approx 8,854~2.10^{12}~\mathrm{jSI}</math>, <math>\mu_0 = 4\pi.10^{-7} \approx 1,2566.10^{-6}~\mathrm{jSI}</math> a veličiny '''P,M''' jsou definované v látkovém prostředí takto. Představme si malou krychli látky o objemu <math>\Delta V</math> a dipólového momentu <math>\Delta \mathbf p</math>. Elektrická polarizace je objemová hustota elektrického dipólového momentu
<math>\mathbf{P} = \frac{\Delta \mathbf{p}}{\Delta V}</math>
a protože se dipólový moment krychle dá vyjádřit z definice jako posunutý náboj (polarizační <math>\rho_p</math>) krát posunutí z rovnovážné polohy <math>\Delta \mathbf p = \rho_p.\Delta V.\Delta \mathbf r</math>, dá se také vyjádřit jako
<math>\mathbf{P} = \rho_p \Delta \mathbf r</math>.
Podobně magnetizace je objemová hustota magnetického momentu
<math>\mathbf M = \frac{\Delta \mathbf{m}}{\Delta V}</math>.
Představme si malý čtvercový kvádr látky tloušťky ''b'' o straně ''a'', vybranou tak, aby směr magnetického momentu '''k''' byl kolmý na plochu čtvercové podstavy. Pak je z definice magnetického momentu
<math>\mathbf M = \frac{\Delta \mathbf m}{\Delta V} = \frac{\Delta I \Delta S \mathbf k}{\Delta V} = \frac{bj_S \mathbf k a^2}{ba^2} = j_S\mathbf k</math>
tedy magnetizace má směr kolmý na rovinu obíhaní proudu a velikost rovnu délkové hustotě plošného proudu <math>j_S</math>.
Tyto veličiny jsou spolu svázány soustavou Maxwellových rovnic.
===Diferenciální tvar===
Maxwellovy rovnice lze zapsat v diferenciálním tvaru následujícím způsobem:
<br/> <math> \mathrm{div}\, \mathbf{D}=\rho_v </math>
<br/> <math> \mathrm{rot}\, \mathbf{H}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}</math>
<br/> <math> \mathrm{rot}\, \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math>
<br/> <math> \mathrm{div}\, \mathbf{B}=0</math>
První dvě rovnice popisují vztah mezi nábojovou hustotou volných nábojů<math>\rho_v </math>, hustotou volných proudů <math>\mathbf{j_v}</math> a vektory elektromagnetického pole <math>\mathbf{D}</math> a <math>\mathbf{H}</math>. Poslední dvě rovnice udávají obecně platné vlastnosti vektorů <math>\mathbf{E}</math> a <math>\mathbf{B}</math>.
===Integrální tvar===
V integrálním tvaru nabývají Maxwellovy rovnice podoby (<math>Q</math> je volný náboj v objemu ohraničeném plochou <math>S</math> a <math>I</math> je proud protékající plochou ohraničenou křivkou <math>l</math>):
<br/> <math> \oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=Q</math>
<br/> <math> \oint_{l}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I+\int_{S}\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}</math>
<br/> <math> \oint_{l}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\int_{S}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}</math>
<br/> <math> \oint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=0</math>
První rovnice odpovídá Gaussovu zákonu, druhá představuje zobecněný Ampérův zákon, třetí reprezentuje Faradayův indukční zákon a čtvrtá vyjadřuje neexistenci magnetických nábojů.
=Elektromagnetické potenciály=
===Zavedení potenciálů===
Pro řešení Maxwellových rovnic je výhodné následujícím způsobem zavést vektorový potenciál <math>\mathbf{A}</math> a skalární potenciál <math>\varphi </math>:
<br/> <math> \mathbf{B}=\mathrm{rot}\, \mathbf{A}</math>
<br/> <math> \mathbf{E}=-\mathrm{grad}\, \varphi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}</math>
Zavedení <math>\mathbf{A}</math> podle prvního vztahu umožňuje poslední z Maxwellových rovnic, druhý vztah lze získat dosazením prvního do třetí Maxwellovy rovnice.
===Kalibrační transformace===
Potenciály <math>\mathbf{A}</math> a <math>\varphi </math> nejsou určeny jednoznačně a je tedy možné přejít k jiným pomocí kalibrační transformace
<br/> <math> \varphi'=\varphi -\frac{\partial \psi }{\partial t}</math>
<br/> <math> \mathbf{A}'=\mathbf{A}+\mathrm{grad}\, \psi ,</math>
<br/>aniž by přitom došlo ke změně <math>\mathbf{E}</math> a <math>\mathbf{B}</math>. Elektromagnetické pole je tedy kalibračně invariantní.
===Lorentzova podmínka===
Kalibrační transformace umožňují takovou volbu potenciálů, při které je splněna Lorentzova podmínka
<br/> <math> \mathrm{div}\, \mathbf{A}+\epsilon \mu \frac{\partial \varphi }{\partial t}=0,</math>
<br/>kde <math>\epsilon </math> značí permitivitu a <math>\mu </math> permeabilitu vystupující v (lineárních) materiálových vztazích. Zavedené potenciály lze s využitím materiálových vztahů dosadit do prvních dvou Maxwellových rovnic a díky této podmínce je možné po úpravách získat vlnovou rovnici
<br/> <math> \Delta \varphi -\epsilon \mu \frac{{\partial }^{2}\varphi }{\partial {t}^{2}}=-\frac{\rho }{\epsilon }</math>
<br/> <math> \Delta \mathbf{A}-\epsilon \mu \frac{{\partial }^{2}\mathbf{A}}{\partial {t}^{2}}=-\mu \mathbf{j}</math>
=Zákony zachování=
''$ten: Toto je narychlo vypsáno z Feynmanových přednášek 2. díl kap. 27 Energie pole a hybnost pole.''
''Určitě to sem částečně patří, ale je to jen pár neformálních výkřiků do tmy a mávání rukama. Kdo to víte lépěji, prosím opravte to a doplňte.''
==Lokálnost zákonů zachování==
Velmi stručně shrnuto jde o to, jestli zákony zachování platí globálně, lokálně nebo jak.
Příklad '''zachování elektrického náboje'''. Náboj v uzavřeném systému se nemění (např. v celém vesmíru).
Můžeme si tedy představit situaci, že v místě A je náboj a s časem ubývá. Na jiném (vzdáleném) místě B pak úplně stejně náboj z ničeho nic přibývá. Zákon zachování funguje. Ovšem teorie relativity v tomto případě vztyčí varovný prst a zakáže jakékoliv okamžité působení na dálku. Náboj se tedy bude muset přesunout nějakým tokem - proudem.
Vztah proto pak je jednoduše
<math> \mathbf{\nabla \cdot j} = - \frac{\partial \rho}{\partial t}</math>.
Tzn. že zákon zachování musí platit ''lokálně'', v každém místě. Pro všechny veličiny, které se mají zachovávat pak platí, že ubývají tak, jak velký je jejich tok do okolí.
===Zákon zachování energie pro EM pole===
Nu a stejně jako pro náboj musí být splněn zákon zachování energie. Úplně analogicky je tedy ''hustota energie pole'' <math>w</math> a ''hustota toku energie pole'' <math>/mathbf{S}</math> spojena vztahem:
<math>\frac{\partial w}{\partial t} = - \mathbf{\nabla \cdot S}</math>
Předešlá rovnice ještě není celá fertig, nezachovává se totiž jen energie EM pole, ale všechna energie - i energie látky.
Časová hustota změna hustoty energie se tedy spotřebuje na to co vyteče z objemu <math>V</math> a na práci vykonanou v tomto objemu. Pole koná práci na elektrické náboje.
Lorentzova síla: <math>\mathbf{F} = q \left( \mathbf{E} + \mathbf{v \times B} \right).</math>
Práce za jednotku času: <math>\mathbf{F \cdot v} = q \mathbf{E \cdot v}</math>
Z toho práce na jednotku objemu s koncentrací částic <math>N</math> je <math>Nq\mathbf{E \cdot v} = \mathbf{E \cdot j}</math>.}
Pozn.: "Překvapivě" vlastně hustota výkonu dle Joulese. <math>P = UI</math>.
Takže sakumprdum je vztah pro zachování energie v objemu <math>V</math> s hranicí <math>\Sigma</math>
<math>-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_V w \mathrm{d}V = \oint_{\Sigma} \mathbf{S \cdot n}\mathrm{d}\Sigma + \int \mathbf{E \cdot j}\mathrm{d}V</math>
Což nám matematici jistě dovolí přepsat jako
<math>-\frac{\partial w}{\partial t} = \mathbf{\nabla \cdot S} + \mathbf{E \cdot j} </math>
<math>\left(\heartsuit\right)</math>
==Co jsou to ty ''w'' a '''''S'''''==
Intuitivní odvození následuje. Berte jako vodítko.
Dle předešlých úvah předpokládáme, že existuje (a všem experimentům se líbí) nějaká hustuta energie <math>w</math> a tok hustoty energie <math>\mathbf{S}</math>.
Dostaňme je jak jinak z Maxwellek.
Vemme rovnici pro rotaci '''''B''''' (pozn. nechal jsem rozměrové konstanty tam, jak je píšou v F. přednáškách, je to trochu nezvyk):
<math>\mathbf{j} = \epsilon_0 c^2 \left(\mathbf{\nabla \cdot B}\right) - \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial{t}}</math>
Vynásobíme-li skalárně '''''E''''' dostaneme levou stranu <math>\left(\heartsuit\right)</math>
<math>\mathbf{E \cdot j} = \epsilon_0 c^2 \mathbf{E \cdot} \left(\mathbf{\nabla \times B}\right) - \epsilon_0 \mathbf{E \cdot} \frac{\partial E}{\partial{t}}</math>.
Teď prosím matematiky aby se odvrátili od monitorů, neb fyzici berou klidně bez okolků následující vztah za platný. "Vždyť copa. Derivace jako derivace a násobení jako násobení, jakýpa s tim s****."
<math>\mathbf{\nabla \cdot}\left(\mathbf{B \times E}\right) = \mathbf{E \cdot}\left(\mathbf{\nabla \times B}\right) - \mathbf{B \cdot}\left(\mathbf{\nabla \times E}\right)</math>. (''bacha na znaménko'')
S použitím vztahu, který si matematici právě teď ještě ověřují, dostáváme
<math>\mathbf{E \cdot j} = \epsilon_0 c^2 \mathbf{\nabla \cdot} \left(\mathbf{B \times E}\right) + \epsilon_0 c^2 \mathbf{B \cdot} \left(\mathbf{\nabla \times E}\right) - \frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{1}{2} \epsilon_0 \mathbf{E \cdot E} \right)</math>.
"<math>\nabla \times E</math> je naštěstí rovno" <math>-\partial \mathbf{B} / \partial t</math> a tedy
<math>\mathbf{B \cdot (\nabla \times E)} = - \frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{\mathbf{B \cdot B}}{2} \right)</math>
Takže <math>\heartsuit</math> přejde na
<math>\mathbf{E \cdot j} = \mathbf{\nabla \cdot} \left(\epsilon_0 c^2 \mathbf{B \times E} \right) - \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{\epsilon_0 c^2}{2}\mathbf{B \cdot B} + \frac{\epsilon_0}{2} \mathbf{E \cdot E} \right)</math>,
kde už vidíme
<math> w = \frac{\epsilon}{2}\mathbf{E \cdot E} + \frac{\epsilon_0 c^2}{2} \mathbf{B \cdot B}</math>,
<math> \mathbf{S} = \epsilon_0 c^2 \mathbf{E \times B} </math>.
=Elektrostatika=
===Maxwellovy rovnice pro elektrostatické pole===
Elektrostatika se zabývá případem, kdy jsou všechny elektrické náboje v klidu. Maxwellovy rovnice pak vypadají následovně:
<br/> <math> \mathrm{div}\, \mathbf{D}=\rho </math>
<br/> <math> \mathrm{rot}\, \mathbf{H}=0</math>
<br/> <math> \mathrm{rot}\, \mathbf{E}=0</math>
<br/> <math> \mathrm{div}\, \mathbf{B}=0</math>
===Poissonova a Laplaceova rovnice===
Vztah mezi potenciálem elektrostatického pole a rozložením náboje určuje Poissonova rovnice
<br/> <math> \Delta \varphi =-\frac{\rho }{{\epsilon }_{0}},</math>
<br/> která v místech s nulovou hustotou náboje přechází na Laplaceovu rovnici
<br/> <math> \Delta \varphi =0</math>
<br/> (jednoznačnost řešení zajišťují okrajové podmínky).
===Základní úloha elektrostatiky===
Základní úloha elektrostatiky spočívá v určení potenciálu (a tím i intenzity elektrického pole) soustavy nabitých vodičů. Jde tedy o řešení Laplaceovy rovnice v místech mimo nabité vodiče s okrajovými podmínkami, které představují zadané potenciály, resp. náboje jednotlivých vodičů a požadavek nulového potenciálu na hranici zkoumaného objemu či (v limitě) v nekonečnu v případě celého prostoru.
===Vhodné vztahy===
Pro řešení úloh je možné v elektrostatice vycházet z Gaussova zákona (viz výše), případně z jiných známých vztahů jako např. z výrazu pro intenzitu elektrického pole v místě <math>\mathbf{r}</math> od náboje <math>Q</math> umístěného v <math>\mathbf{r}'</math>
<br/> <math> \mathbf{E}\left(\mathbf{r}\right)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_{0}}\frac{Q}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'{|}^{3}}\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right)</math>
=Stacionární pole=
===Maxwellovy rovnice pro stacionární pole===
Ve stacionárním stavu jsou všechny makroskopické veličiny časově nezávislé. V tomto případě nabývají Maxwellovy rovnice tvaru:
<br/> <math> \mathrm{div}\, \mathbf{D}=\rho </math>
<br/> <math> \mathrm{rot}\, \mathbf{H}=\mathbf{j}</math>
<br/> <math> \mathrm{rot}\, \mathbf{E}=0</math>
<br/> <math> \mathrm{div}\, \mathbf{B}=0</math>
Prostorové rozložení nábojů je popsáno časově konstantní nábojovou hustotou <math>\rho </math>. Na rozdíl od elektrostatiky však mohou náboje konat makroskopický pohyb, kterému odpovídá časově neproměnná proudová hustota <math>\mathbf{j}</math>.
===Ohmův zákon===
Další odlišnost od elektrostatiky představuje existence nenulového elektrického pole uvnitř vodičů, kterými protéká proud. Úměru mezi proudovou hustotou a intenzitou elektrického pole v daném vodiči o měrné vodivosti <math>\gamma </math> vyjadřuje diferenciální tvar Ohmova zákona:
<br/> <math> \mathbf{j}=\gamma \mathbf{E}</math>
Měrná vodivost je spojena s měrným odporem <math>\sigma </math> vztahem
<br/> <math> \gamma =\frac{1}{\sigma }</math>
Odpor <math>R</math> vodiče délky <math>l'</math> a průřezu <math>S'</math> udává výraz
<br/> <math> R=\sigma \frac{l'}{S'}</math>
Vyjádřením elektrického proudu
<br/> <math> I=\int_{S'}\mathbf{j}\cdot d\mathbf{S}'</math>
<br/>a napětí
<br/> <math> U=\int_{\left(1\right)}^{\left(2\right)}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}'={\varphi }_{1}-{\varphi }_{2}</math>
<br/>lze zapsat Ohmův zákon ve tvaru
<br/> <math> I=\frac{U}{R}</math>
===Vhodné vztahy===
Pro řešení úloh lze v případě stacionárního pole vhodně užít Gaussův zákon (viz výše), Ampérův zákon ve tvaru
<br/> <math> \oint_{l}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I</math>
<br/>a Biot-Savartův vzorec
<br/> <math> \mathbf{B}\left(\mathbf{r}\right)=\frac{\mu }{4\pi }\int_{V}\frac{\mathbf{j}\left(\mathbf{r}'\right)\times \mathbf{R}}{{R}^{3}}dV',</math>
<br/>kde <math>\mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}'</math>, integrační proměnná je <math>\mathbf{r}'</math> a integruje se přes objem <math>V</math>.
=Kvazistacionární pole=
===Maxwellovy rovnice pro kvazistacionární pole===
Kvazistacionární přiblížení je vhodné pro studium časově proměnného elektrického a magnetického pole za předpokladu dostatečně pomalých změn rozložení nábojů, tedy
<br/> <math> \mathbf{j}>>\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}</math>
Maxwellovy rovnice tak mají podobu:
<br/> <math> \mathrm{div}\, \mathbf{D}=\rho </math>
<br/> <math> \mathrm{rot}\, \mathbf{H}=\mathbf{j}</math>
<br/> <math> \mathrm{rot}\, \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math>
<br/> <math> \mathrm{div}\, \mathbf{B}=0</math>
===Elektromagnetická indukce===
Jak je patrné, oproti stacionárnímu přiblížení je zde již uvažován jev elektromagnetické indukce. Pro indukované elektromotorické napětí <math>{U}_{F}</math> ve vodivé smyčce, kterou prochází (časově proměnný) magnetický indukční tok <math>\Psi </math>, platí Faradayův indukční zákon
<br/> <math> {U}_{F}=-\frac{d\Psi }{dt}</math>
Skutečnost, že směr indukovaného proudu ve smyčce je takový, že jím vytvořené magnetické pole se snaží kompenzovat změny toku způsobující vznik indukovaného proudu, se nazývá Lenzovo pravidlo.
V případě smyčky o ploše <math>S''</math> nehybné vzhledem k laboratorní soustavě (a neměnící svou geometrii) lze psát
<br/> <math> {U}_{F}=-\int_{S''}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}''</math>
===Vhodné vztahy===
Při řešení úloh lze v případě kvazistacionárního pole postupovat podobně jako ve stacionárním přiblížení, ovšem Ohmův zákon je nutné doplnit o indukované elektromotorické napětí <math>{U}_{F}</math>, resp. odpovídající indukovanou vtištěnou intenzitu elektrického pole <math>{\mathbf{E}}_{F}^{\star }</math>.
=Nestacionární pole=
===Maxwellovy rovnice pro nestacionární pole===
Nestacionární pole představuje zcela obecný případ elektromagnetického pole. K jeho popisu je třeba užívat Maxwellovy rovnice v obecném tvaru ze začátku tohoto textu:
<br/> <math> \mathrm{div}\, \mathbf{D}=\rho </math>
<br/> <math> \mathrm{rot}\, \mathbf{H}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}</math>
<br/> <math> \mathrm{rot}\, \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math>
<br/> <math> \mathrm{div}\, \mathbf{B}=0</math>
===Maxwellův proud===
Jak je patrné, oproti kvazistacionárnímu přiblížení se na pravé straně druhé z rovnic vyskytuje výraz <math>\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}</math>, který lze považovat za celkovou hustotu makroskopického nestacionárního proudu
<br/> <math> {\mathbf{j}}_{c}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}+{\epsilon }_{0}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t},</math>
<br/>kde první člen <math>\mathbf{j}</math> odpovídá hustotě volného proudu, druhý člen <math>\frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}</math> přísluší hustotě polarizačního proudu a poslední člen <math>{\epsilon }_{0}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> je hustota tzv. Maxwellova proudu. Maxwellův proud nesouvisí přímo s pohybem nábojů, ale s časovou změnou elektrického pole. Polarizační a Maxwellův proud bývají dohromady označovány jako posuvný proud.
===Vhodné vztahy===
Z předchozího je zřejmé, že řešení úloh v případě nestacionárního pole se od kvazistacionárního přiblížení odlišuje nutností užívat zobecněný Ampérův zákon, tj. integrální tvar druhé Maxwellovy rovnice (uveden již výše):
<br/> <math> \oint_{l}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I+\int_{S}\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}</math>
[[Státní závěrečná zkouška]]
