# Zkouška 11. 1. 2019

<{ForumPost(poster="Lemurman", timestamp=2019-01-11 13:56:21)}>
(T1)  
Co je to Lanczosův algoritmus, k čemu slouží a co o něm můžeme teoreticky říci. Napište jeho algoritmické schéma.  
  
(T2)  
Popište Arnoldiho algoritmus a komentuje jeho vztah ke QR rozkladu matice.  
  
(D1)  
Popište Newtonovu metodu pro řešení nelineární algebraické rovnice $f(x) = 0$. Formulujte větu o konvergenci této metody (bez důkazu), okomentujte předpoklady a tvrzení této věty. Dále předpokládejme, že po 4 krocích je chyba $10^{-3}$. Kolik dalších kroků musíme minimálně provést, pokud chceme dosáhnout chyby $10^{-12}$?  
  
(D2)  
Formulujte větu o odhadu celkové diskretizační chyby obecné jednokrokové metody, za předpokladu, že přírůstková funkce $\Psi(t, y, h)$ je Lipschitzovská vzhledem k $y$ a lokální diskretizační chyba splňuje $|\tau(t, h)| \le Ch^3$. Podtržené pojmy vysvětlete. Jak vypadá formulka pro odhad chyby metodou polovičního kroku této metody?  
  
Bodování: každá úloha za 10 bodů  
40 - 36   1  
35 - 28   2  
27 - 21   3  
20 - 0     4  
Nutná podmínka: z každé části (T1 + T2) a (D1 + D2) alespoň 5 bodů.
<{/ForumPost}>