# [NMAI059] PaST - Zkouška - Hlubinka - 12. 6. 2018

<{ForumPost(poster="stenly", timestamp=2018-06-12 11:16:53)}>

![photo](/NMAI059/Zkouška Hlubinka 12.06. 2018/photo.jpg)

<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="Vilda", timestamp=2019-01-13 17:21:10)}>
Když se stejně učím na zkoušku, tak sem už rovnou mohu dát své řešení. Pravděpodobně tam budou hrubky.  
  
1.  
a) 6/19*7/20+7/19*13/20  
b) 1-1/(20C6)  
c) P\[V_1=B|V_2=A] = (P\[V_2=A|V_1=B]*P\[V_1=B])/(P\[V_2=A|V_1=B]*P\[V_1=B]+P\[V_2=A|V_1\ne B]*P\[V_1\ne B])  
  
2.  
a) Náhodná veličina je funkce z Omega do R. Rozdělení je funkce P taková, že P(-\infty,a) = P\[x \le a], distribučí funkce F_X(a) = P\[x \le a]   
b) Diskrétní náhodná veličina zobrazuje na body, které mají nenulovou pravděpodobnost, spojitá do množiny, která je intervalem na ose reálných čísel a každá hodnota má nulovou pravděpodobnost.  
c) Zprava spojitá, lim do -\infty je 0, lim do \infty je 1  
d) Rozdělení pravděpodobnosti je funkce, která každému izolovanému bodu přiřazuje jeho pravděpodobnost. Částečný součet od -\infty po a je pak distribuční funkce. Hustota (pro spojité náhodné veličiny) je funkce taková, že její integrál od -\infty po a je distribuční funkce.  
  
3.  
a) P\[X > 10] = 0.5, jelikož nebyly kladeny žádné požadavky na kvalitu. Rozumnější by byl odhad pomocí frekvence charakteristickou funkcí.  
b) P\[X > 10] = 1/n * \chi(P\[X>10]) je nestranný a konzistentní odhad  
c) Pomocí CLV: P\[|avg X - EX| \le \sqrt{\sigma^2}{n} \quantile(1-\alpha/2)] -> 1-\alpha  
d) TODO  
  
4.   
Úplná pravděpodobnost)  
Nechť (B_i) je disjunktní rozklad \Omega, pak P\[A] = \sum P\[A|B_i]*P\[B_i] = \sum P\[A, B_i] = P\[A]  
Bayesova věta)  
Tu jsme použili už v 1.  
P\[B_j|A] = P\[A|B_j]*P\[B_j]/\sum P\[A|B_i]*P\[B_i]  
Důkaz: P\[B_j|A] = P\[B_j, A]/P\[A] = cíli (z úplné pravděpodobnosti)  
  
5.  
a) 2  
b) P\[X+Y = a] = \int f_X,Y\[\alpha, a-\alpha] d\alpha = \int_0^a f_X\[\alpha]*f_Y\[a-\alpha] d\alpha = e^-a \int_0^a e^{-2\alpha} d\alpha  
  
6.  
a) Nezávislé nejsou, neboť P\[B-C=-1|A+B=2] = 0, ale každá část má nenulovou pravděpodobnost. Sdružené rozdělení je tabulka pravděpodobností 2x2, marginální jsou řadové/sloupcové součty.  
c) E(A+B)^2 = 1, E(B-C)^2 = 0, E((A+B)^2) = 1.5, E((B-C)^2) = 0.5, var(A+B) = var(B-C) = 0.5, cov(A+B, B-C) = 0.25, corr(A+B, B-C) = 0.5
<{/ForumPost}>