# Zk. 19.1.2010 <{ForumPost(poster="Fida", timestamp=2010-01-19 11:45:47)}> Dnesni zadani byl takovy darecek:): 1. mam dve nahodna cisla, jaka je pravdepodobnost, ze v soucinu bude na posledni cifre 1 \[7b] 2. 10 lovcu, 10 bazantu, kazdy se trefi s pravd. p, jaka je stredni hodnota prezivsich bazantu \[8b] 3. 10 stejnych uren, v deviti jsou dve bile a dve cerne a v jedne je 5 bilych a 1 cerna. Vytahneme bilou kouli, jaka je pravd. ze byla z te s hodne bilymi koulemi \[5b] 4. generator nah. cisel generuje rovnomerne 0..9, jake rozdeleni ma pocet sudych cisel \[5b] 5. nejaka teorie <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="seby", timestamp=2010-01-19 11:59:41)}> Teorie byla: - diskrétní pravděpodobnostní prostor, náhodný jev, elementární jev - podmíněná pravděpodobnost + příklad použití - věta o úplné pravděpodobnosti + příklad uplatnění - nezávislé náhodné veličiny - chyba 1. a 2. druhu Moje výsledky: 1) 1/25 2) 1/(n^(n-1))*sum{j=0...n}((nCj)*(n-1)^(n-j)*(1-p)^j) nCj je kombinační číslo 3) 5/32 4) ~Bi(n,1/2) <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="Ellrohir", timestamp=2010-01-19 12:13:37)}> jaké jsou letos podmínky? je to pořád 45 možných bodů a min. 25 bodů na trojku? (zaspal jsem poslední přednášku, jestli to tam říkal :oops: ) <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="seby", timestamp=2010-01-19 12:16:39)}> > Ellrohir wrote:jaké jsou letos podmínky? je to pořád 45 možných bodů a min. 25 bodů na trojku? (zaspal jsem poslední přednášku, jestli to tam říkal :oops: ) Skoro. Jsou 2 hodiny, 45 možných bodů, 20 musí být na 3 a na 1 stačilo myslím 38. Ostatní hranice si nepamatuji. <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="the21st", timestamp=2010-01-19 13:22:27)}> > seby wrote:2) 1/(n^(n-1))*sum{j=0...n}((nCj)*(n-1)^(n-j)*(1-p)^j) Mohol by si prosim vysvetlit postup? :) Vdaka <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="R.U.R.", timestamp=2010-01-19 13:50:27)}> Já si nevšim že by vůbec něco o zkouškách říkal. Jsou povolené nějaké pomůcky? Jak moc toho člověk má napsat k tý teorii? Jak moc podrobně má bejt postup u těch výpočtů? Říkalo se něco o tom, jak se to hodnotí? <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="kukmuk", timestamp=2010-01-19 15:25:44)}> **1.** mam dve nahodna cisla, jaka je pravdepodobnost, ze v soucinu bude 1 na posledni cifre Oznacme nahodna cela cisla n a k, dale pak c=n*k. Posledni cifru c ovlivni pouze posledni cifry z n a k. Udelame si tabulku, jejiz hodnoty udavaji posledni cifru soucinu n*k. n/k | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ----|--------------------- 0 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 | 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 3 | 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7 4 | 0 4 8 2 6 0 4 8 2 6 5 | 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 6 | 0 6 2 8 4 0 6 2 8 4 7 | 0 7 4 1 8 5 2 9 6 3 8 | 0 8 6 4 2 0 8 6 4 2 9 | 0 9 8 7 6 5 4 2 2 1 Je videt ze nosna mnozina prostoru ma 100 prvku, z toho 4 jednicky. Pravdepodobnost je tedy 1/25. **2.** 10 lovcu, 10 bazantu, kazdy se trefi s pravd. p, jaka je stredni hodnota prezivsich bazantu -nevim ... radte **3.** 10 stejnych uren, v deviti jsou dve bile a dve cerne a v jedne je 5 bilych a 1 cerna. Vytahneme bilou kouli, jaka je pravdepodobnost. ze byla z te s 5 bilymi koulemi? Toto je samozrejme na podminenou pravdepodobnost. Oznacime jev, ze byla vytazena bila koule, jako **B**. Cerna jako **C**. Jev, ze byla zvolena urna s 5 bilymi, jako **S** (specialni). Normalni urna bude **N**. Nyni: P(S|B) = p(S & B) / P(B) i) Urcime nosnou mnozinu prostoru: Omega = 9 x { (N, B), (N, B), (N, C), (N, C) } + 1 x { (S, B), (S, B), (S, B), (S, B), (S, B), (S, C) } Kde (x, y) je elementarni jev znacici vytazeni barvy y z urny typu x. |Omega| = 9*4 + 1*6 = 42 ii) P(B) = (9*2 + 1*5) / 42 = 23/42 // 23 ~ pocet prvku z omegy tvaru (_, B) iii) P(S & B) = 5 / 42 // 5 ~ pocet prvku z omegy tvaru (S, B) Nakonec P(S|B)=5/23 **4.** Generator nah. cisel generuje rovnomerne 0..9. a) jake rozdeleni ma pocet sudych cisel v n generovanich? b) jake jsou charakteristiky tohoto rozdeleni? a) ~Bi(n, 0.5), P(x) = (n C x)*(2^(-n)) b) E(X) = 0.5*n, var(X) = 0.25*n **5.** a) Diskretni pravdepodobnostni prostor, nahodny jev, elementarni jev b) Podminena pravdepodobnost + priklad c) Veta o uplnem systemu jevu + priklad d) Chyba I. a II. radu a) Diskretni pravdepodobnostni prostor = Pravdepodobnostni prostor se spocetnou mohutnosti Nahodny jev = Mnozina elementarnich jevu takova, ze patri do **A** (v prostoru (Omega, A)) Elementarni jev = Prvek A, pro ktery plati, ze prunik s jakymkoliv jinym jevem z A, je bud prazdna mnozina nebo opet ten samy jev. b) Vzorecek + kdy se hodi c) Vzorecek + dukaz (viz. ucebnice) d) Chyba I. radu - zamitame pravdivou hypotezu H0 Chyba II. radu - nezamitame nepravdivou hypotezu H0 // pomucka 2. rad ~~ 2 zapor <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="seby", timestamp=2010-01-19 16:54:45)}> > the21st wrote: > > seby wrote:2) 1/(n^(n-1))*sum{j=0...n}((nCj)*(n-1)^(n-j)*(1-p)^j) > > Mohol by si prosim vysvetlit postup? :) Vdaka Když vydržíte, tak se ho večer pokusím zreprodukovat, ale předem říkám, že jeho správností si nejsem jist. <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="blah", timestamp=2010-01-19 17:28:46)}> noo po kratkej uvahe k tomu druhemu prikladu, co mi prve napadlo by bolo asi..... 0*C(0,10)*p^10*(1-p)^0 + 1*C(1,10)*p^9*(1-p) + 2*C(2,10)*p^8*(1-p)^2 + 3*C(3,10)*p^7*(1-p)^3 + ............. + 9*C(9,10)*p*(1-p)^9 + 10*C(10,10)*p^0*(1-p)^10 pre kazdy podvyraz tohto vyrazu tvaru x*C(x,10)*p^(10-x)*(1-p)^x plati ze x je pocet prezivsich bazantov...to kombinacne cislo symbolizuje pocet podskupin strelcov ktori sa netrafili, pricom ked prezivsich bazantov je napriklad 2 tak to znamena ze hladame podskupinu velkosti 2 strelcov, ktori sa netrafili a ti sa netrafili s p^2 a ti ostatni sa ptoom trafili s p^(10-2) . atd snad je to pochopitelne <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="posila", timestamp=2010-01-19 19:21:17)}> Na odpoledním termínu jsme měli podobnou písemku. 1.) Máme 10 karet s čísly 0 .. 9. Sestavíme-li z těchto karet náhodně dvojciferné číslo, jaká je pravděpodobnost, že toto číslo bude dělitelné 18? (Padl dotaz, jestli máme považovat čísla začínající 0 taky za dvojciferná, prof. Antoch odpověděl, že ano) \[7b] 2.) N lovců, N zajíců, každý si nezávisle na ostatních vybere jednoho zajíce a po tom střelí. Každý se trefí s pravděpodobností p. Jaká je střední hodnota preživších zajíců?. ( Takže stejná jako ráno, ale zadaná obecně) \[8b] 3.) Máme skupinu k_1 uren a v každé je m_1 bílých koulí a n_1 černých. Pak máme druhou skupinu s k_2 urnami, kde každá obsahuje m_2 bílých a n_2 černých koulí. Vybrali jsme si jednu urnu a vytáhli z ní bílou kouli. Jaká je pravděpodobnost, že to byla urna z první skupiny. \[5b] 4.) Máme náhodný generátor s rovnoměrným rozdělením, který generuje čísla od 0 do 9. Kolik potřebujeme vygenerovat čísel, abychom s pravděpodobností 0,95 dostali alespoň 2 sudá čísla. (až na konstantu stejná úloha jako [5.3 v této písemce](http://forum.matfyz.info/viewtopic.php?f=161&t=2574)) \[5b] 5.) Nějaká teorie \[5x4b] - Rozdíl mezi párovým a dvojvýběrovým testem - Rozdíl mezi neslučitelnými a nezávislými náhodnými jevy - Distribuční funkce (definice, vlastnosti, příklad) - Na příkladu s odhalováním falešné mince popsat testování hypotéz - Čebyševova nerovnost a věta (znění, důkaz) EDIT: doplnil jsem bodování <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="QZuzka", timestamp=2010-01-19 19:33:05)}> pokud jsem dobře vnímala, říkali, že výsledky by měly být ještě dneska na webu... ale až cestou domů mi došlo, že nevím na kterém webu.. neříkali něco na konci? <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="Anonymous", timestamp=2010-01-19 20:21:41)}> > QZuzka wrote:pokud jsem dobře vnímala, říkali, že výsledky by měly být ještě dneska na webu... > > ale až cestou domů mi došlo, že nevím na kterém webu.. neříkali něco na konci? Neřekl nikdo nic, takže průběžne koukám na jeho stránky, ačkoliv to nevypadá, že by tam kdy nějaké informce o zkouškách byli. Netuší někdo, kde to bude? Ani nevím, jak se jmenujovali ti tři, co nás taky hlídali, že bych to hledal na jejich stránkách. <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="p", timestamp=2010-01-19 20:39:29)}> Jeden z nich bol Zbynek Pawlas [http://www.karlin.mff.cuni.cz/~pawlas/](http://www.karlin.mff.cuni.cz/~pawlas/) Zvysni dvaja neviem. <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="HonzaK", timestamp=2010-01-19 20:44:02)}> Ja myslim, ze by to melo byt na strankach prof. Antocha: [http://www.karlin.mff.cuni.cz/~antoch/](http://www.karlin.mff.cuni.cz/~antoch/) Kdyz se kouknete do zdrojoveho kodu te stranky, tak tam je zakomentovana sekce s odkazy na vysledky zkousek z lonska... Je pravda, ze slibovali, ze to bude opravene jeste dneska, myslim, ze hlidajiciho cviciho se i nekdo ptal, kde to bude a on mu odpovedel, ze prave na Antochove webu, ale oficialne to nikdo nerekl.... <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="seby", timestamp=2010-01-19 22:12:30)}> > the21st wrote: > > seby wrote:2) 1/(n^(n-1))*sum{j=0...n}((nCj)*(n-1)^(n-j)*(1-p)^j) > > Mohol by si prosim vysvetlit postup? :) Vdaka Můj postup byl následující. Vyšel jsem z postupu ve fóru pro podobný příklad: [http://forum.matfyz.info/viewtopic.php?f=161&t=4222](http://forum.matfyz.info/viewtopic.php?f=161&t=4222) Y...počet přeživších bažantů X_i...1, pokud i-tý bažant přežil; 0, pokud i-tý bažant neměl to štěstí Y = sum{i=1...n}X_i Protože X_i má Alternativní rozdělení, tak P(X_i = 1) = EX_i P(X_i = 1) = sum{j=0...n}((nCj)*(n-1)^(n-j)/n^n*(1-p)^j) = Vzorec1.png je to součet pravděpodobností, podle toho, kolik střelců si daného bažanta vybralo, tedy *j* určuje počet střelců, kteří si daného bažanta vybrali. To, kolika způsoby můžeme tyto střelce vybrat určuje kombinační číslo *(nCj)*. Ještě přidáme počet možností, jakými lze zbývajícím *n-j* střelcům přidělit *n-1* bažantů. To celé vydělíme všemi možnostmi, jakými lze přidělit každému střelci jeho bažanta. Tímto jsme (alespoň doufám) získali pravděpodobnost, s jakou si daného bažanta vybere *j* střelců. A tuto pravděpodobnost ještě vynásobíme pravděpodobností, že všichni tito střelci minou, tedy *(1-p)^j*. Pokud jsem do teď postupoval správně, tak jsem získal vzorec pro výpočet střední hodnoty *X_i*. A protože tento vzorec nezávisí na *i*, tak ji můžu označit *EX*. EY = = Esum{i=1...n}X_i = = sum{i=1...n}EX_i = = sum{i=1...n}EX = = n*EX = = n*sum{j=0...n}((nCj)*(n-1)^(n-j)/n^n*(1-p)^j) = = n/n^n*sum{j=0...n}((nCj)*(n-1)^(n-j)*(1-p)^j) = = 1/n^(n-1)*sum{j=0...n}((nCj)*(n-1)^(n-j)*(1-p)^j) = = Vzorec2.png *Attachments:* - *[Vzorec2.png](/Forum%20archiv/Attachments/3999_2200db469bf10a87bf432e0c7a056aa4)* - *[Vzorec1.png](/Forum%20archiv/Attachments/3999_91684f87bcebff7624fc8967cfddef1f)* <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="TS", timestamp=2010-01-20 08:54:04)}> Tak máme výsledky na [http://www.karlin.mff.cuni.cz/~antoch/mai/19012010.pdf](http://www.karlin.mff.cuni.cz/~antoch/mai/19012010.pdf). Čekal jsem teda, že dopadnu lépe, no ale tak hlavně že zkoušku mám. Je ale docela poznat, jak obecnější zadání odpolední skupiny bylo těžší, celkem to zahýbalo s výsledky. Dopolední průměr známek byl nějakých 1,64 a odpolední 2,3. <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="Jindra", timestamp=2010-01-20 13:06:27)}> Teďkon se učim na statistiku a podle mě úloha 2 by se měla řešit nějak takto. Je možný, že tam bude něco blbě, ale postupoval jsem takto: 10 lovců, 10 bažantů. EX = suma xi * pi. xi značí počet přeživších bažantů, tj. hodnoty od 0 do 10. Pro tyhle hodnoty se mrknu na jejich pravděpodobnosti: Přežije PST 0 C(10, 0) * p ^ 10 * (1 - p) ^ 0 1 C(10, 1) * p ^ 9 * (1 - p) ^ 1 2 C(10, 2) * p ^ 8 * (1 - p) ^ 2 ... i C(10, i) * p ^ (10 - i) * (1 - p) ^ i kde C(a, b) chápu jako "a nad b". C(10, i) značí počet možností, kterýma si můžu vybrat zabitý bažanty, p ^ (10 - i) je pravděpodobnost, se kterou se 10 - i krát někdo trefí a (1 - p) ^ i je pravděpodobnost, že se zbytek lovců (tedy i) netrefí. Když to dám do vzorečku pro EX, vyjde mi EX = sum xi * pi = sum[i=0...10] ( i * C(10, i) * p ^ (10 - i) * (1 - p) ^ i ) Což je podle mě jinej výsledek, než dává ten postup nade mnou. Ale možný je taky to, že je to jen jinak algebraicky zapsaná stejná hodnota. Jo kéž bych ještě uměl sčítat řady.. :D <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="Jindra", timestamp=2010-01-20 13:23:34)}> > kukmuk wrote: > **3.** 10 stejnych uren, v deviti jsou dve bile a dve cerne a v jedne je 5 bilych a 1 cerna. Vytahneme bilou kouli, jaka je pravdepodobnost. ze byla z te s 5 bilymi koulemi? > > Toto je samozrejme na podminenou pravdepodobnost. Oznacime jev, ze byla vytazena bila koule, jako **B**. Cerna jako **C**. Jev, ze byla zvolena urna s 5 bilymi, jako **S** (specialni). Normalni urna bude **N**. Nyni: > P(S|B) = p(S & B) / P(B) > i) Urcime nosnou mnozinu prostoru: > Omega = 9 x { (N, B), (N, B), (N, C), (N, C) } + 1 x { (S, B), (S, B), (S, B), (S, B), (S, B), (S, C) } > Kde (x, y) je elementarni jev znacici vytazeni barvy y z urny typu x. > |Omega| = 9*4 + 1*6 = 42 > ii) P(B) = (9*2 + 1*5) / 42 = 23/42 // 23 ~ pocet prvku z omegy tvaru (_, B) > iii) P(S & B) = 5 / 42 // 5 ~ pocet prvku z omegy tvaru (S, B) > > Nakonec P(S|B)=5/23 Ahoj, tady si dovolim rejpnout a rict, ze to jde mnohem jednoduseji. Zapomenem na černý koule. Pokud vytáhnu bílou kouli, stejně se nic dalšího nedovim, to znamená že mohla být z jakékoliv urny. Potom stačí spočítat celkový počet bílých koulí, které můžu vylosovat(23), a počet koulí, které když vylosuju, tak budou ze speciální urny(5) a podle vzorečku z osmý třídy to vydělit a mam to. Řekl bych že to takhle funguje i pro tu obecnou verzi, kdy výsledek bude m1 / (m1 + m2) <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="R.U.R.", timestamp=2010-01-20 13:24:21)}> Mám pocit, že sebyho vzorec nefunguje už pro n=2, p=1/2. Mělo by imho vyjít 1, ale vychází 9/8. Já došel ke stejnému vzorci jako blah, tj.: Sum {i=0..n} ( (n nad i) * p^(n-i) * (1-p)^i * i ) <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="Jindra", timestamp=2010-01-20 13:43:34)}> Ještě si něco přihodim k té úloze s bažantama. Z tý tabulky pravděpodobností plyne, že počet zabitých bažantů se řídí binomickým rozdělením Bi(10, p), takže počet přeživších bažantů, jestli se nepletu, by se měl řídit Bi(10, 1 - p), z čehož plyne, že střední hodnota počtu přeživších bažantů je EX = 10 * (1 - p). Což dává i tak trochu smysl, protože kdyby se lovci trefili na 30 procent, střední hodnota zabitejch bažantů by bylo 3 a přeživších 7, a kdyby se myslivci trefovali na 50 procent, stř. hodnota zabitejch/přeživších bažantů bude taky polovina z jejich počtu.. (tady nám hraje do noty, že bažantů je stejně jako lovců. jinak by to nefungovalo.) <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="seby", timestamp=2010-01-20 13:49:30)}> > Jindra wrote: > > > > > EX = sum xi * pi = sum[i=0...10] ( i * C(10, i) * p ^ (10 - i) * (1 - p) ^ i ) > > > > > > Což je podle mě jinej výsledek, než dává ten postup nade mnou. Ale možný je taky to, že je to jen jinak algebraicky zapsaná stejná hodnota. Jo kéž bych ještě uměl sčítat řady.. :D > R.U.R. wrote:Mám pocit, že sebyho vzorec nefunguje už pro n=2, p=1/2. Mělo by imho vyjít 1, ale vychází 9/8. > Já došel ke stejnému vzorci jako blah, tj.: > Sum {i=0..n} ( (n nad i) * p^(n-i) * (1-p)^i * i ) Myslím, že jste se stali obětmi nepřesného přepsání zadání. Nikde totiž nevidím, že byste zohledňovali to, že si může více střelců vybrat stejného bažanta, což původní zadání (podle mě) umožňovalo. Takže máme 10 střelců, 10 bažantů, každý střelec si vybere bažanta (nezávisle na ostatních) a všichni najednou vystřelí. Každý svého bažanta trefí s pravděpodobností *p*. Určete střední hodnotu počtu přeživších bažantů. <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="Gerome", timestamp=2010-01-20 14:07:51)}> > Jindra wrote: > > kukmuk wrote: > > **3.** 10 stejnych uren, v deviti jsou dve bile a dve cerne a v jedne je 5 bilych a 1 cerna. Vytahneme bilou kouli, jaka je pravdepodobnost. ze byla z te s 5 bilymi koulemi? > > > > Toto je samozrejme na podminenou pravdepodobnost. Oznacime jev, ze byla vytazena bila koule, jako **B**. Cerna jako **C**. Jev, ze byla zvolena urna s 5 bilymi, jako **S** (specialni). Normalni urna bude **N**. Nyni: > > P(S|B) = p(S & B) / P(B) > > i) Urcime nosnou mnozinu prostoru: > > Omega = 9 x { (N, B), (N, B), (N, C), (N, C) } + 1 x { (S, B), (S, B), (S, B), (S, B), (S, B), (S, C) } > > Kde (x, y) je elementarni jev znacici vytazeni barvy y z urny typu x. > > |Omega| = 9*4 + 1*6 = 42 > > ii) P(B) = (9*2 + 1*5) / 42 = 23/42 // 23 ~ pocet prvku z omegy tvaru (_, B) > > iii) P(S & B) = 5 / 42 // 5 ~ pocet prvku z omegy tvaru (S, B) > > > > Nakonec P(S|B)=5/23 > > > Ahoj, tady si dovolim rejpnout a rict, ze to jde mnohem jednoduseji. Zapomenem na černý koule. Pokud vytáhnu bílou kouli, stejně se nic dalšího nedovim, to znamená že mohla být z jakékoliv urny. Potom stačí spočítat celkový počet bílých koulí, které můžu vylosovat(23), a počet koulí, které když vylosuju, tak budou ze speciální urny(5) a podle vzorečku z osmý třídy to vydělit a mam to. > > Řekl bych že to takhle funguje i pro tu obecnou verzi, kdy výsledek bude m1 / (m1 + m2) Nemělo by to být spíš tak, že nejdřív náhodně vybírám urnu a pak teprve v ní náhodně kouli, tedy P(B) = 9/10 * 2/4 + 1/10 * 5/6 = 8/15 P(S&B) = 1/10 * 5/6 = 1/12 P(S/B) = (1/12) / (8/15) = 5/32 <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="seby", timestamp=2010-01-20 14:41:39)}> > Gerome wrote: > Nemělo by to být spíš tak, že nejdřív náhodně vybírám urnu a pak teprve v ní náhodně kouli, tedy > P(B) = 9/10 * 2/4 + 1/10 * 5/6 = 8/15 > P(S&B) = 1/10 * 5/6 = 1/12 > P(S/B) = (1/12) / (8/15) = 5/32 Výsledek jsem měl stejně, takže asi souhlas, ale není jednodušší to řešit Bayesovkou? To je pouhé dosazení do vzorečku. <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="posila", timestamp=2010-01-20 14:46:50)}> Mám strhnuty 2 body, možná je to za úlohu s bažantama/zajícema a možná taky ne. Každopádně tady je řešení, které jsem napsal do písemky (zhruba v této podobě). Y_1 ... Y_n ~ Alt(p/n), Y_k = 1 indikuje, žá k-tý lovec si vybral 1. zajíce a zasáhl ho Y - náhodná veličina říkající, kolik 1. zajíc dostal zásahů tedy Y = sum(Y_k) => Y ~ Bi(n, p/n) Pravděpodobnost, že 1. zajíc zemře je: P[Y >= 0] = 1 - P[Y = 0] = 1 - C(n, 0) * (p/n)^0 * (1 - p/n)^n = 1 - (1 - p/n)^n to můžeme pro velká n aproximovat jako 1 - e^(-p) X_1 ... X_n ~ Alt(1 - e^(-p)), X_k = 1 pokud k-tý zajíc zemře X - náhodná veličina říkající, kolik zemřelo zajíců tedy X = sum(X_k) => X ~ Bi(n, 1 - e^(-p)) => EX = n - n*e^(-p) A tedy výsledek je n - n*e^(-p) <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="the21st", timestamp=2010-01-20 15:10:59)}> > R.U.R. wrote:Mám pocit, že sebyho vzorec nefunguje už pro n=2, p=1/2. Mělo by imho vyjít 1, ale vychází 9/8. > Já došel ke stejnému vzorci jako blah, tj.: > Sum {i=0..n} ( (n nad i) * p^(n-i) * (1-p)^i * i ) Podla mna pre n = 2, p = 1/2 to ma vyjst 9/8 (skus si rozpisat vsetky pripady). Aj so spolubyvajucim sme sa zhodli ze sebyho riesenie je spravne :) <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="posila", timestamp=2010-01-20 16:12:41)}> > the21st wrote:Podla mna pre n = 2, p = 1/2 to ma vyjst 9/8 (skus si rozpisat vsetky pripady). Podle mě to má být 7/8, protože: Lovci si můžou vybrat takto (1,1), (1,2), (2,1), (2,2), takže pravděpodobnost, že oba vyberou stejného/různého bažanta je 1/2 **P(umřou 2 bažanti)** = P(lovci si vyberou každý různého bažanta & 1. lovec trefí & 2. lovec trefí) = 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8 **P(umře 1 bažant)** = P(lovci si vyberou oba stejného bažanta & ((1. trefí & 2. trefí) || (1. trefí & 2. netrefí) || (1. netrefí & 2. trefí))) + P(lovci si vyberou každy jiného bažanta & ((1. trefí & 2. netrefí) || (1. netrefí & 2. trefí))) = 1/2 * (1/2 * 1/2 + 1/2 * 1/2 + 1/2 * 1/2) + 1/2 * (1/2 * 1/2 + 1/2 * 1/2) = 5/8 **P(umře 0 bažantů)** = P(1. lovec netrefí & 2. lovec netrefí) = 1/2 * 1/2 = 2/8 Snad (ale možná taky ne) to bude OK, protože P(umřou 2) + P(umře 1) + P(umře 0) = 1/8 + 5/8 + 2/8 = 1 No, a střední hodnota bude tedy 2*P(umřou 2) + 1*P(umře 1) + 0*P(umře 0) = 2*1/8 + 1*5/8 + 0*2/8 = **7/8** <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="R.U.R.", timestamp=2010-01-20 18:07:45)}> > seby wrote:Myslím, že jste se stali obětmi nepřesného přepsání zadání. Nikde totiž nevidím, že byste zohledňovali to, že si může více střelců vybrat stejného bažanta, což původní zadání (podle mě) umožňovalo. > Takže máme 10 střelců, 10 bažantů, každý střelec si vybere bažanta (nezávisle na ostatních) a všichni najednou vystřelí. Každý svého bažanta trefí s pravděpodobností *p*. Určete střední hodnotu počtu přeživších bažantů. Ano, jsme obětmi toho, co si kdo pamatuje a napíše to sem :-)) Ale samozřejmě velké díky i za nepřesné a neúpůlné informace, pořád lepší než nic. Bylo to zadání v tomhle jednoznačné? Já jsem teda nikdy na lovu nebyl, ale nemyslim si, že by bylo běžné, že všichni budou střílet naráz, a třeba jich všech deset ve stejnou chvíli zastřelí stejnýho bažanta... Myslím, že je běžnější, že střílej po sobě, a tim pádem nestřílej do už mrtvejch bažantů. Jak ukazují naše výsledky, je to pro lovce výhodnější. <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="the21st", timestamp=2010-01-20 18:58:22)}> > posila wrote: > > the21st wrote:Podla mna pre n = 2, p = 1/2 to ma vyjst 9/8 (skus si rozpisat vsetky pripady). > > Podle mě to má být 7/8 Ty pocitas strednu hodnotu poctu mrtvych bazantov. Ja som pocital zivych (tak ako to je v zadani :)). Ked scitas nase vysledky, tak dostanes 2, co je presne to, co by sme chceli pri 2 bazantoch :). <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="posila", timestamp=2010-01-20 19:40:30)}> Ajo, tak to potom jo :). Odpoledne jsme meli pocet _mrtvych_ zajicu, tak pak uz jsem nejak tak predpokladal, ze se meli pocitat taky mrtvi bazanti :). <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="R.U.R.", timestamp=2010-01-21 13:52:48)}> Hm, teď jsem zjistil zajímavou věc. Pokud u těch bažantů počítáme s variantou, kde pro n=2, p=1/2 má vyjít 1, pak se ten obecnej vzorec dá zjednodušit na n*p :-D <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="Jindra", timestamp=2010-01-21 14:32:00)}> > R.U.R. wrote:Hm, teď jsem zjistil zajímavou věc. Pokud u těch bažantů počítáme s variantou, kde pro n=2, p=1/2 má vyjít 1, pak se ten obecnej vzorec dá zjednodušit na n*p :-D > Já jsem wrote: > Ještě si něco přihodim k té úloze s bažantama. Z tý tabulky pravděpodobností plyne, že počet zabitých bažantů se řídí binomickým rozdělením Bi(10, p), takže počet přeživších bažantů, jestli se nepletu, by se měl řídit Bi(10, 1 - p), z čehož plyne, že střední hodnota počtu přeživších bažantů je EX = 10 * (1 - p). Což dává i tak trochu smysl, protože kdyby se lovci trefili na 30 procent, střední hodnota zabitejch bažantů by bylo 3 a přeživších 7, a kdyby se myslivci trefovali na 50 procent, stř. hodnota zabitejch/přeživších bažantů bude taky polovina z jejich počtu.. (tady nám hraje do noty, že bažantů je stejně jako lovců. jinak by to nefungovalo.) Tohle už jsem psal, můžeš tu jednoduchost zobecnit a zůstane to jednoduše n * (1 - p). :-) <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="hroh", timestamp=2010-01-21 17:15:59)}> > kukmuk wrote: > **3.** 10 stejnych uren, v deviti jsou dve bile a dve cerne a v jedne je 5 bilych a 1 cerna. Vytahneme bilou kouli, jaka je pravdepodobnost. ze byla z te s 5 bilymi koulemi? > > Toto je samozrejme na podminenou pravdepodobnost. Oznacime jev, ze byla vytazena bila koule, jako **B**. Cerna jako **C**. Jev, ze byla zvolena urna s 5 bilymi, jako **S** (specialni). Normalni urna bude **N**. Nyni: > P(S|B) = p(S & B) / P(B) > i) Urcime nosnou mnozinu prostoru: > Omega = 9 x { (N, B), (N, B), (N, C), (N, C) } + 1 x { (S, B), (S, B), (S, B), (S, B), (S, B), (S, C) } > Kde (x, y) je elementarni jev znacici vytazeni barvy y z urny typu x. > |Omega| = 9*4 + 1*6 = 42 > ii) P(B) = (9*2 + 1*5) / 42 = 23/42 // 23 ~ pocet prvku z omegy tvaru (_, B) > iii) P(S & B) = 5 / 42 // 5 ~ pocet prvku z omegy tvaru (S, B) > > Nakonec P(S|B)=5/23 Jak jsi přišel na to, že P(B) = (9*2 + 1*5)/42? Podle mě nemůžeš vzít #bílých / #všech, když to, že vytáhneš bílou se ti u různých uren liší. Kdybys měl v 9 urnách dvě černé a žádnou bílou a v 1 urně 23 bílých a 1 černou, počítal bys to taky tak, že P(B) = (9*0 + 1*23)/42? Přičemž bystří vidí, že v "mém" příkladě je P(B) = 23/24 * 1/10. Podle mě je správně výsledek v prvním příspěvku 5/32, a to použitím Bayersovy věty. P(bílá|urna s 5)*P(urna s 5) / SUMA(P(bílá|i-tá urna)*P(i-tá urna)) = (5/6 * 1/10) / (9* 1/2 * 1/10 + 5/6 * 1/10) = 5/32 <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="simoD", timestamp=2010-01-24 21:13:39)}> > posila wrote:Mám strhnuty 2 body, možná je to za úlohu s bažantama/zajícema a možná taky ne. Každopádně tady je řešení, které jsem napsal do písemky (zhruba v této podobě). > > > > > Y_1 ... Y_n ~ Alt(p/n), Y_k = 1 indikuje, žá k-tý lovec si vybral 1. zajíce a zasáhl ho > Y - náhodná veličina říkající, kolik 1. zajíc dostal zásahů > tedy Y = sum(Y_k) > => Y ~ Bi(n, p/n) > > Pravděpodobnost, že 1. zajíc zemře je: > P[Y >= 0] = 1 - P[Y = 0] = 1 - C(n, 0) * (p/n)^0 * (1 - p/n)^n = 1 - (1 - p/n)^n > to můžeme pro velká n aproximovat jako 1 - e^(-p) > > X_1 ... X_n ~ Alt(1 - e^(-p)), X_k = 1 pokud k-tý zajíc zemře > X - náhodná veličina říkající, kolik zemřelo zajíců > tedy X = sum(X_k) > => X ~ Bi(n, 1 - e^(-p)) > => EX = n - n*e^(-p) > > A tedy výsledek je n - n*e^(-p) Stejné řešení je v "Kapitoly z diskrétní matematiky" od Matouška str.304. (Příklad 10.3.3 Počet živých zajíců) Bez záruky postup výpočtu, který vychází z vlastností střední hodnoty: X - NV počet přeživších bažantů Ai - NV i-tý bažant přežije Klíčový vztah je: ![\mathbf{E}(X)=\mathbf{E}(\sum_{i=1}^{n} A_i) = \sum_{i=1}^{n}\mathbf{E}(A_i)](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbf{E}(X)=\mathbf{E}(\sum_{i=1}^{n} A_i) = \sum_{i=1}^{n}\mathbf{E}(A_i)){: alt="\mathbf{E}(X)=\mathbf{E}(\sum_{i=1}^{n} A_i) = \sum_{i=1}^{n}\mathbf{E}(A_i)" type="image/"} Teď zbývá vypočítat ![}\mathbf{E}(A_i)](http://latex.codecogs.com/gif.latex?}\mathbf{E}(A_i)){: alt="}\mathbf{E}(A_i)" type="image/"} Pravděpodobnost, že j-tý lovec si vybere i-tého bažanta je 1/n a že se trefí je p. Všichni střelci si vybírají nezávisle tedy P(Ai) = (1- p/n)^n (t.j. pravděpodobnost že i-tý bažant přežije). Zbývá dosadit do vztahu a vyjde to. ![\mathbf{E}(X)=n \dotc \left( 1-\frac{p}{n} \right)^n \approx ne^{(-p)}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbf{E}(X)=n \dotc \left( 1-\frac{p}{n} \right)^n \approx ne^{(-p)}){: alt="\mathbf{E}(X)=n \dotc \left( 1-\frac{p}{n} \right)^n \approx ne^{(-p)}" type="image/"} Y- NV počet střelených bažantů ![\mathbf{E}(Y)=n-\mathbf{E}(X)\approx n-ne^{(-p)}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbf{E}(Y)=n-\mathbf{E}(X)\approx n-ne^{(-p)}){: alt="\mathbf{E}(Y)=n-\mathbf{E}(X)\approx n-ne^{(-p)}" type="image/"} <{/ForumPost}>