# Hudecová – 19.12.2018

<{ForumPost(poster="awk", timestamp=2018-12-24 10:17:08)}>
Varianta B dnešní zápočtové písemky:  
(Pro úspešné napsání je potřeba získat alespoň 10 bodů)  
  
**Příklad 1. (6 bodů)** V ledničce máme pět syrových a dvě uvařená vajíčka. Náhodně vybereme tři vajíčka a ty dáme na 10 minut vařit (čímž se syrová vajíčka uvaří) a pak je na noc uložíme zpět do ledničky.

1. Označme $X$ počet syrových vajíček v ledničce. Určete rozdělení a střední hodnotu $X$
1. Ráno vybereme z ledničky náhodně jedno vajíčko a to je uvařené. S jakou pravděpodobností zbývají v ledničce právě dvě uvařená vajíčka?
1. Označme jako $Y$ počet uvařených vajíček, které jsme dali vařit. Rozhodněte, zda jsou $X$ a $Y$ nezávislé. Řádně zdůvodněte.

**Příklad 2. (5 bodů)** Pan Karel je nadšený cyklista a na kolo vyráží každý den bez ohledu na počasí. Lze předpokládat, že vzdálenosti jím ujeté v jednotlivé dny jsou navzájem nezávislé a stejně rozdělené náhodné veličiny se střední hodnotou 30 km a směrodatnou odchylkou 10 km.

1. Pan Karel se vsadil s manželkou, že za měsíc (30 dní) ujede na kole více než tisíc kilometrů. S jakou pravděpodobností pan Karel tuto sázku vyhraje?
1. Pomozte panu Karlovi modifikovat výše uvedenou měsíční sázku tak, aby pravděpodobnost, že sázku vyhraje manželka, byla menší než 5%.

**Příklad 3. (5 bodů)** Předpokládejme, že doba čekání ve frontě na poště (v hodinách) je náhodná veličina s hustotou   
$$f(x) = \begin{cases} b(2 - \sqrt{x}) & x \in [0,4], \\ 0 & \text{jinak.} \end{cases}$$

1. Nalezněte $b > 0$ tak, aby $f$ byla hustota.
1. Na poště již aktuálně čekáte 1 hodinu a stále ještě nejste na řadě. S jakou pravděpodobností budete muset čekat ještě víc než další jednu hodinu?
1. Spočtěte střední dobu čekání na poště.

**Příklad 4. (4 bodů)** Ze zkušenosti víme, že počet potřebných opravných termínů jednoho studenta na zkoušce z Pravděpodobnosti a statistiky je náhodná veličina s rozdělením  
$$\mathrm{P}(X = 0) = p^2, \quad \mathrm{P}(X=1) = 2p(1-p), \quad \mathrm{P}(X = 2) = \left(1 - p\right)^2$$  
kde $p \in (0,1)$ je neznámý parametr. Předpokládejme, že počty opravných termínů jednotlivých studentů jsou navzájem nezávislé náhodné veličiny $X_1,\ldots,X_n$.

1. Odhadněte $p$ momentovou metodou.
1. Rozhodněte, zda je odhad z a. nestranný a konzistentní.
1. Pro 25 studentů jsme napozorovali celkem 15 opravných termínů dohromady. Vyčíslete pro tato data odhad z a. a navrhněte odhad pravděpodobnosti, s jakou náhodně vybraný student potřebuje dva opravné termíny.

----

Vybrané hodnoty distribuční a kvantilové funkce normovaného normální rozdělení přiloženy.
<{/ForumPost}>