# Zkouška Kolman 4. 6. 2024
1. 
    a) Uveďte přesnou definici pozitivně definitních matic **(5)**

    b) Co víte o rozkladu pozitivně definitní matice $A$ na součin dolní a horní trojúhelníkové? Přesně formulujte a dokažte. (Nevíte-li jak postupovat, uvažte rozklad matice A založený na násobení A zleva maticí odpovídající vhodné posloupnosti elementárních řádkových úprav) **(10)**

 


2.
    (a) Spočtěte vlastní čísla a vlastní vektory matice 
    $
    A = \begin{pmatrix}
    1 & 1 & 1 \\
    1 & 1 & 1 \\
    1 & 1 & 1
    \end{pmatrix}.
    $     **(5)**
    
    (b) Existují vlastní vektory $u$, $v$, v matici $A$ takové, že každé dva různé z nich jsou na sebe kolmé (vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu)? Pokud ano, najděte nějaké, pokud ne, zdůvodněte. **(5)**
    
    (c) Najděte bázi $B$ vektorového prostoru $\mathbb{R}^3$ takovou, že matice kvadratické formy $f$ dané předpisem:
    $$f(x) = x_1^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + x_2^2 + 2x_2x_3 + x_3^2$$
    je vůči ní diagonální a navíc pouze s čísly 0, 1, -1. **(5)**

3. 
    (a) Uveďte definici skalárního součinu ve vektorovém prostoru $V = \mathbb{R}^n$.  **(5)**
    
    (b) Nechť $U$ je podprostor vektorového prostoru $V = \mathbb{R}^3$ generovaný vektorem $b_1 = (1,1,1)^T$. Najděte nějakou bázi ortogonálního doplňku $U$, vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu, takovou, že každé dva její vektory $u, v, u \neq v$ jsou na sebe kolmé. **(10)**

4. Pro každé z následujících tvrzení zdůvodněte, zda platí či neplatí.

    (a) Pro každé dvě čtvercové matice $A$ a $B$ platí: jsou-li $A$ a $B$ ortogonální matice, pak i $AB$ je ortogonální matice. **(5)**
    
    (b) Pro matici 
    $
    C = \begin{pmatrix}
    2 & -2 & 0 & 3 \\
    -2 & 1 & 3 & 5 \\
    0 & 4 & 0 & 3 \\
    3 & 5 & 2 & 7
    \end{pmatrix}
    $
    existuje rozklad $C = U^T U$, kde $U$ je horní trojúhelníková matice. **(5)**
    
    (c) Pokud 
    $
    AS = S \begin{pmatrix}
    1/2 & 0 & 0 \\
    0 & 1/3 & 0 \\
    0 & 0 & 1/4
    \end{pmatrix}
    $, 
    a $S$ je regulární matice, pak $3/2$, $4/3$ a $5/4$ jsou vlastní čísla matice $(A + I)$. **(5)**