# Zkouška Kolman 24. 6. 2025 C
1. Nechť $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & -1 & -2 \\ 8 & 4 & 5 \end{pmatrix}$. Pokud existují, najděte následující rozklady:

    a) $A = RDR^{-1}$, kde $D$ je diagonální matice a $R$ je libovolná matice, **(10)**

    b) $A = U^TU$, kde $U$ je reálná horní trojúhelníková matice. **(5)**

 

2. 
    a) Uveďte přesnou definici charakteristického polynomu matice. **(3)**

    b) Uveďte přesnou definici podobných matic. **(3)**

    c) Co víte o charakteristických polynomech podobných matic? Přesně formulujte a dokažte. **(9)**

 

3. Nechť $U$ je podprostor vektorového prostoru $\mathbb{R}^{4}$ generovaný vektory $a = (1, 2, 2, 0)^T$ a $ b = (0,1,2,3)^T$

    a) Najděte nějakou bázi $B$ ortogonálního doplňku U; ortogonalitu uvažujte vzhledem ke standartnímu skalárnímu součinu. **(8)**

    b) Najděte nějakou ortonormální bázi $C$ ortogonálního doplňku U; ortogonalitu uvažujte vzhledem ke standartnímu součinu. **(7)**



 

4. Pro každé z následujících tvrzení zdůvodněte, zda platí či neplatí.

    a) Nechť $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ jsou pozitivně semidefinitní matice. Pak $A$ a $B$ mají stejnou signaturu. **(5)**

    b) Je-li $v$ vlastním vektorem reálné matice $A$, pak $v$ je také vlastním vektorem matice $A-I$ (kde I označuje jednotkovou matici stejného řádu jako A). **(5)**

    c) Kvadratická forma $f(x) = x^T \begin{pmatrix} -2 & -1 \\  0 & -3 \end{pmatrix} x$ na $\mathbb{R}^{2}$ nabývá pouze záporných hodnot, s výjimkou vektoru $x = (0,0)^T$. **(5)**

---

### Bodování:

- 60–50 = 1
- 42–49 = 2
- 35–41 = 3
- 30–34 = možná ústní
- 0–29 = 4

Čas: 90 minut (bylo to málo)