# Zkouška Hladík 2. 6. 2025 A

1. Zformulujte a dokažte větu o charakterizaci positivně definitních matic. **(7)** \
Definujte pojem bilineární forma. **(1)**
 

2. Co víte o tématu: Ortogonální matice. \
(definice, vlastnosti, odvození, použití, souvislosti) **(6)**
 

3. Symetrická matice $A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ má vlastní čísla $1, 3, 6$ a odpovídající vlastní vektory $v_1, v_2, v_3$. Dále víme, že matice projekce na $\mathrm{span}\{v_1\}$ je

$$
P = \frac{1}{2} \begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$

a matice projekce na $\mathrm{span}\{v_1, v_2\}$ je

$$
Q = \frac{1}{3} \begin{pmatrix}
2 & -1 & -1 \\
-1 & 2 & -1 \\
-1 & -1 & 2
\end{pmatrix}.
$$

(a) Určete vektory $v_1, v_2, v_3$. **(4)**\
(b) Určete matici $A$. **(2)**

4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá:

    (a) Buď $V$ prostor se skalárním součinem a $u, v \in V$. Pak $u$ lze rozepsat jako $u = \alpha v + w$ pro vhodný vektor $w \perp v$ a skalár $\alpha$. **(2)**

    (b) Matice $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ je diagonalizovatelná právě tehdy, když má navzájem různá vlastní čísla. **(2)**
    
    (c) Buď $A = LL^T$ Choleského rozklad matice $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$. Je-li $A_{n1} = 0$, pak $L_{n1} = 0$. **(2)**
    
    (d) Buď $A = \begin{pmatrix}
    1 & 2 \\
    2 & 1
    \end{pmatrix}$. Pak existuje reálná matice $S$ taková, že $S^T A S = \begin{pmatrix}
    2 & 0 \\
    0 & -3
    \end{pmatrix}$. **(2)**