# Zkouška Kolman 27.5. 2025 A

1. Co víte o vlastních vektorech příslušných k různým vlastním číslům dané matice? Přesně formulujte a dokažte. (15)

2. Rozhodněte, zda matice $C = \begin{pmatrix}
-7 & -4 & -8 \\
4 & 3 & 4 \\
8 & 4 & 9 
\end{pmatrix}$ a $D = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-4 & -1 & -2 \\
8 & 4 & 5 
\end{pmatrix}$ jsou podobné. (15)

3. a) Napište znění Sylvestrova zákona setrvačnosti kvadratických forem. (5)

   b) Nechť $A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 
\end{pmatrix}$. Najděte matici $B$ a diagonální matici $D$ takové, že $BAB^T = D$. (10)

4. Pro každé z následujících tvrzení zdůvodněte, zda platí či neplatí.

   a) Determinant matic $A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
8 & 7 & 6 & 5 \\
9 & 10 & 11 & 12 \\
16 & 15 & 14 & 13 
\end{pmatrix}$ a $B = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 
\end{pmatrix}$ je stejný. (5)

   b) Pro každé dvě matice $A, B$ (typu $n \times n$) komplexních čísel platí: Jsou-li $\lambda_1,...,\lambda_n$ vlastní čísla matice $A$ a $\lambda_1',...,\lambda_n'$ vlastní čísla matice $B$ (každé vlastní číslo bereme s jeho algebraickou násobností), pak $\lambda_1 \cdot \lambda_1',...,\lambda_n \cdot \lambda_n'$ jsou vlastní čísla matice $(AB)$. (5)

   c) Kvadratická forma $f(x) = x^T\begin{pmatrix}
-2 & -1 \\
0 & -3 
\end{pmatrix}x$ na $\mathbb{R}^2$ nabývá pouze záporných hodnot, s výjimkou vektoru $x = (0,0)^T.$ (5)

#### Bodování
- 60–37 = známky 1–3
- 36–30 = možné ústní přezkoušení
- 29–0 = 4