1. Nechť 
$A=\begin{pmatrix}
   1 & 0 & 0 \\
   -4 & -1 & -2 \\
   8 & 4 & 5
\end{pmatrix}$ 
Pokud existují, najděte následující rozklady: \
a) $A = RDR^{-1}$, kde $D$ je diagonální matice a $R$ je libovolná matice **(10)** \
b) $U^{T}U$, kde $U$ je reálná horní trojúhleníková matice **(5)**

---
2.
a) Uveďte přesnou definici charakteristického polynomu matice. **(3)** \
b) Uveďte přesnou definici podobných matic. **(3)** \
c) Co víte o charakteristických polynomech podobných matic? Přesně formulujte a dokažte. **(9)**

---
3. Nechť $U$ je podprostor vektorového prostoru $\Reals^{4}$ generovaný vektory
$a = \begin{pmatrix} 1, 2, 2, 0 \end{pmatrix}^{T}$ a $b = \begin{pmatrix} 0, 1, 2, 3 \end{pmatrix}^{T}$. Najděte nějakou ortonotmální bázi ortogonálního doplňku $U$; ortogonalitu uvažujeme vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu. **(15)**

---
4. Pro každé z následujících tvrzení zdůvodněte, zda platí či neplatí. \
a) Nechť $Z \in \Reals^{n \times n}$ je symetrická matice s nezápornou diagonálou. Pak $Z$ je pozitivně semidefinitní matice. **(5)** \
b) Nechť $g$ je bilineární forma na $\Reals^{3}$ a $A, B$ matice této formy vůči dvěma různým bázím. Pak $det(A)=det(B)$. **(5)** \
c) Kvadratická forma $f(x) = x^{T} \begin{pmatrix}
   -2 & -1 \\
   0 & -3
\end{pmatrix} x$ na $\Reals^{2}$ nabývá pouze záporných hodnot, s vyjímkou vektoru $x = \begin{pmatrix} 0, 0 \end{pmatrix}^{T}$. **(5)**