1. K matici $A=\begin{pmatrix}
   1 & -3 & -3 \\
   -3 & 7 & 3 \\
   -3 & 3 & 1
\end{pmatrix}$ najděte \
a) ortonormální matici $R$ a diagonální matici $D$ tak, aby platilo $RDR^{T}=A$ **(10)** \
b) matici $B$ tak, aby platilo $B^{2}=A$ (pro jistotu zdůrazňuji, že matice $B$ má opravdu splňovat $B^{2}=A$ a nikoli $B^{T}B = A$) **(5)**

---
2. Definujte pozitivně definitní matice. **(5)** \
Formulujte a dokažte (alespoň) jednu další ekvivalentní podmínku na pozitivní definitnost matice. **(10)**

---
3.
a) Uveďte přesně definici skalárního součinu ve vektorovém prostoru $V=R^{n}$. **(5)** \
b) Nechť $U$ je lineární obal vektoru $b_{1}=\begin{pmatrix} 1,1,1\end{pmatrix}^{T}$ ve vektorovém prostoru $V=R^{3}$, a nechť $C=\begin{pmatrix}
   2 & 0 & 0 \\
   0 & 2 & 0 \\
   0 & 0 & 2 
\end{pmatrix}$. Najděte nějakou bázi ortogonálního doplňku $U$, vzhledem ke skalárnímu součinu $\braket{u|v} = u^{T}Cv$, takovou, že každé dva její vektory $u, v, u \neq v$, jsou na sebe kolmé (opět vzhledem k výše uvedenému skalárnímu součinu) **(10)**

---
4. Pro každé následující tvrzení zdůvodněte, zda platí či neplatí. \
a) Pro každou kvadratickou formu $g: V \rarr \Reals$ existuje taková báze,že matice $g$ vůči této bázi je diagonální. **(5)** \
b) Pro každou matici a pro její libovolné vlastní vektory $u$ a $v$ platí, že jejich součet $u + v$ je též vlastním vektorem této matice. **(5)** \
c) Objem rovnoběžnostěnu (v $\Reals^{3}$ se standardním skalárním součinem) daného vektory $\begin{pmatrix} 1,2,3\end{pmatrix}^{T}$, $\begin{pmatrix} 3,4,5\end{pmatrix}^{T}$ a $\begin{pmatrix} 1,7,3\end{pmatrix}^{T}$ je větší, než objem rovnoběžnostěnu daného vektory $\begin{pmatrix} 1,3,1\end{pmatrix}^{T}$, $\begin{pmatrix} 2,4,7\end{pmatrix}^{T}$ a $\begin{pmatrix} 3,5,3\end{pmatrix}^{T}$ **(5)**