# 5.6.2014 Hladík

<{ForumPost(poster="regina", timestamp=2014-06-05 19:11:42)}>
Skupina A:  
1) Zformulujte a dokažte větu o Sylvestrově zákonu setrvačnosti.  
  
2) Najděte matici projekce na přímku  $p=span \{ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \end{array} \right)^T \}$ při nestandartním skalárním součinu:  
$<x,y>^*=4$x${}_1$y${}_1-2$x${}_1$y${}_3+$x${}_2$y${}_2-2$x${}_3$y${}_1+5$x${}_3$y${}_3$
  
3) Buď   
$A= \left( \begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\2 & 0 & 2 \\1 & 2 & 1 \end{array} \right)$ 
a) Najděte vlastní čísla a odpovídající vlastní vektory matice A.  
b) Rozhodněte zda mocninná metoda bude konvergovat pro počáteční vektor $x=( \begin{array}{ccc}3&-1&1 \end{array})^T$ 
  
4)Rozhodněte a zdůvodněte:  
a) Buď V podprostor $R^n$ a $u{}_1,...,u{}_n$ jeho ortonormální báze. Pak matice projekce V má tvar $P= \sum\limits_{i=1}^m $u${}_i$u${}_i^T$
b) Pro  prostory U,V,W platí že V $\subset$ W(doplněk) U(doplněk) $\subset$  V, potom W $\subset$  U  
c) Jsou-li matice $A^{-1}, $B^{-1}$ podobné, pak si jsou matice A, B podobné.  
d) Buď A positivně semidefinitivní matice řádu n. Přičteme-li ke keždému prvku A jedničku dostaneme positivně definitivní matici.
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="zhnujm", timestamp=2014-06-06 11:15:07)}>
Skupina B:  
1) Zformulujte a dokažte Gram-Schmidtovu ortogonalizaci  
  
2) Najděte matici projekce na přímku $p = span\{(3,2,1)^T\}$ při nestandardním skalárním součinu $\langle x,y\rangle^* = x_1y_1 - 2x_1y_2 - 2x_2y_1 + 5x_2y_2 + 4x_3y_3$
  
3)  
$A = \begin{pmatrix}1&1&1\\1&3&1\\1&1&1\end{pmatrix}  $
a) Najděte vlastní čísla $\lambda_1,\lambda_3,\lambda_3$ a odpovídající vlastní vektory  
b) Rozhodněte, zda mocninná metoda bude konvergovat pro počáteční vektor $x = (3,1,1)^T$
  
4) Rozhodněte a zdůvodněte, která tvrzení jsou pravdivá  
a) V podprostor $\mathbb{R}^n, u_1, ..., u_m$ jeho ortogonální báze. Pak matice projekce do V má tvar $P = \sum\limits_{i=1}^{m}u_iu_i^T]$ 
b) Pro prostory U,V,W platí, že pokud  $U\subseteq V^\perp$, tak $W\subseteq U^\perp$
c) Jsou-li regulární matice A,B podobné, pak i $A^{-1},B^{-1}$ jsou podobné  
d) Pro každé $A, B \in\mathbb{R}^{n\times n}$ je matice $A(A + B^T)(A^T + B)A^T$ positivně semidefinitní.
<{/ForumPost}>