# Hladik - 30.5.2011
<{ForumPost(poster="noox", timestamp=2011-05-30 13:49:14)}>
skupina A:
1.) Zformulujte a dokazte vetu o charakterizaci positivne definitnich matic. (7)
Definujte ortogonalni matici. (1)
2.) Mejte matici radu n:
A = na diagonale 5ky jinak vsude 2ky
a.) Spocitejte det(A). (3)
b.) Spocitejte A11-1. (3)
3.) Bud A =
2 2 1
2 5 2
1 2 2
Najdete spektralni rozklad matice A. (6) - vlastni cisla: 1,1,7; vektory: (-2,1,0), (-1,0,1), (1,2,1)
4.) Rozhodnete a zduvodnete, ktera z nasledujicich tvrzeni jsou pravdiva.
a.) Adjungovana matice k dolni trojuhelnikove matici je opet dolni trojuhelnikova matice. (2) - ano
b.) Existuji vektory u,v,w z R2 delky jedna takove, ze ===0. (2) - ano
c.) Jsou-li matice A, B podobne, pak i A+I, B+I jsou podobne. (2) - ano
d.) Pro kazdou matici A plati $A=AA^\dagger A$. (2) - ano
**Na 4ku je oproti minulemu semestru potreba 7 bodu, na 3ku 12, ** (to dost lidi vydesilo:D) ** na 2ku 18, na 1ku 24.**
<{/ForumPost}>
<{ForumPost(poster="malta.x", timestamp=2011-05-30 16:50:11)}>
Dodávám skupinu B:
1) Zformulujte a dokažte Cayley-Hamiltonovu větu (7)
Definujte vlastní vektor matice. (1)
2) Mějme matici řádnu n A = pod diagonálou pětky, jinak všude dvojky
např. pro n=4:
2 2 2 2
5 2 2 2
2 5 2 2
2 2 5 2
a) spočítejte det(A) (3)
b) spočítejte Ann-1 (3)
3) Buď A =
3 2 4
2 0 2
4 2 3
Najděte spektrální rozklad matice A. (6)
4) Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá:
a) adjungovaná matice k dolní trojúhelníkové matici je horní trojúhelníková matice (2)
b) existují navzájem různé vektory u, v, w z R2 takové, že ===0 (2)
c) jsou-li regulární matice A, B podobné, pak i A-1, B-1 jsou podobné (2)
d) pro každou matici A platí A+AA+=A+ (2)
Byl jsem mezi těmi vyděšenými :D ale nakonec to dopadlo díky Pythagorově a Courant-Fischerově větě.
<{/ForumPost}>
<{ForumPost(poster="vojta_vorel", timestamp=2011-05-31 14:15:50)}>
Jen doplním jak se některé věci řešily (skupina B):
1) viz skripta (komu to uniklo, jsou na .../hladik/LA/text_la.pdf)
2a) přičíst první řádek ke všem, to nezmění determinant a z výsledku je patrná jediná nenulová permutace
2b) ze vzorečku inv=(1/det)*adj, rozepsat dotyčný prvek adj, vyjde (1/det)*("det z A řádu n-1"), to se požere
3) S=ortonormální vl.v. ve sloupcích, L=vl.č. na diagonále
4a) NE, najít protipříklad
4b) ANO, nul.pr. je kolmý ke všemu
4c) ANO, jen si pohrát s inverzema
:wink: Vojta
<{/ForumPost}>
<{ForumPost(poster="mathemage", timestamp=2011-06-05 11:17:48)}>
> noox wrote:skupina A:
> 4.) Rozhodnete a zduvodnete, ktera z nasledujicich tvrzeni jsou pravdiva.
> b.) Existuji vektory u,v,w z R2 delky jedna takove, ze ===0. (2) - ano
Nemela by tahla odpoved byt ne? <= u,v,w jsou navzajem kolme o jednotkove delce, tudiz jsou ortonormalni a tim i lin. nezavisle, ale jedna se o lin. nezavisly sys. velikosti vetsi nez 2=dim (R2) - ocvidine ani na papire se vam nepodari nakreslit na 1-kove kruznici 3 kolme vektory, nebo ne?
<{/ForumPost}>
<{ForumPost(poster="vojta_vorel", timestamp=2011-06-05 11:59:23)}>
Taky bych řek, ba je to celkem jisté.. Asi se vloudila chybka.
<{/ForumPost}>
<{ForumPost(poster="noox", timestamp=2011-06-29 20:34:37)}>
> mathemage wrote:
> > noox wrote:skupina A:
> > 4.) Rozhodnete a zduvodnete, ktera z nasledujicich tvrzeni jsou pravdiva.
> > b.) Existuji vektory u,v,w z R2 delky jedna takove, ze ===0. (2) - ano
>
>
> Nemela by tahla odpoved byt ne? <= u,v,w jsou navzajem kolme o jednotkove delce, tudiz jsou ortonormalni a tim i lin. nezavisle, ale jedna se o lin. nezavisly sys. velikosti vetsi nez 2=dim (R2) - ocvidine ani na papire se vam nepodari nakreslit na 1-kove kruznici 3 kolme vektory, nebo ne?
No, tak nejak jsem to napsala do toho testu:D ale na pisemku mi napsali: "to neni argument oni totiz existuji". Bohuzel jsem potom uz nepatrala dal, kdyz sem mela splneno. Takze jsem to nejspis s nejvetsi pravdepodobnosti oduvodnila nepresne a odpoved od opravujiciho byla taky nepresna:D, protoze taky nemam tuseni jak to tvrzeni jinak potvrdit. Kazdopadne moc diky za reakci, aspon to nekdo neopise do pristiho testu:))
<{/ForumPost}>