# 28.5.2015 Hladík

<{ForumPost(poster="jankasvk", timestamp=2015-05-31 13:21:04)}>
Skupina A  
1. (8 bodov)  
Zformulujte a dokažte Cayleyho-Hamiltonovu větu.  
Definujte pojem bilineární forma.  
  
2. (6 bodov)  
Rozhodněte, zda bilineární forma $ b(x,y)=x^T A y $ tvoří skalární součin na prostoru $ V=\text{span}\{(2,2,-1)^T,(1,0,1)^T\} $
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 2  \\
0 & 3 & 1  \\
2 & 1 & 2  
\end{pmatrix}
$$
  
3. (6 bodov)  
Buď  
$$
A = \frac{1}{24} \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}
$$

Spočítejte $\det(I_2 + A + A^2 + A^3 + ...)$
________________  
Výsledek: $ \det = 2 $  
  
4. (8 bodov) - každé po dva body  
Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá:  
(a) Buď $ v_U $ projekce vektoru $ v $ na podprostor $ U $, a buď $ u \in U $ libovolné.   
Pak $ \| u - v \|^2 = \| v - v_U \|^2 + \| v_U - u \|^2 $  
(b) Matice $ \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} $ je podobná jen sama sobě.  
(c) Spektrální rozklad symetrické matice s navzájem různými vlastními čísly je jednoznačný.  
(d) Buď $ A = \{ (1,2) , (2,3) \} $. Pak existuje matice $ S $ taková, že $ S^T A S = I $.  
  
___________________________________  
Skupina B  
1. Důkaz Choleského rozkladu. Definujte Determinant.   
Víc bohužel nevím.  
____________________________________  
  
Známky - pestré, ale oproti LAI mi přišlo mírnější opravování  
  
4 - 6 - 10  
3 - 11 - 16  
2 - 17 - 21  
1 - 22+  
_______________
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="XTE2CeQo", timestamp=2015-05-31 15:28:24)}>
Skupina B:  
1.) Zformulujte a dokažte větu o Choleského rozkladu (existenci a jednoznačnost). (7b)  
    Definujte pojem determinant (1b)  
2.) Rozhodnete, zda bilineární forma $ b(x,y)=x^T A y $, kde  
$$
A=\begin{pmatrix}
2 & 0 & 2  \\
0 & 3 & 0  \\
2 & 0 & 2  
\end{pmatrix}
$$

tvoří skalární součin na prostoru $V = \text{span} \{ (1,-1,-2)^T,(1,1,1)^T \}$. (6b)  
3.)   
$A= \frac{1}{24} \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 7 & 1 \end{pmatrix} $ 
Spočítejte $ \det(I + A + A^2 + ...) $. (6b)  
4.  
  a) Pokud $ P,Q \in \mathbb{R}^{n \times n} $ jsou ortogonální, pak i $ P^{-1}Q $ je ortogonální (2b)  
  b) Mají-li 2 matice stejná vlastní čísla, tak jsou podobné (2b)  
  c) Je-li $ A $ symetrická reálná matice, pak $ iA $ nemá reálné nenulové vlastní číslo. (2b)  
  d) Buď $ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} $. Pak existuje matice $ S $ taková, že $ S^T A S = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} $. (2b)  
  
Celkem 28b, stupnice stejná.  
Ak som niečo poplietol tak sorry, snáď si to niekto všimne :) Pekný víkend a gl hf so skúškami.
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="lukyj", timestamp=2015-06-17 09:23:49)}>
Nevíte někdo prosím, jak by se dělala ta dvojka? Díky  
BTW Myslím, že ta trojka měla teda vyjít $ \frac{12}{11} $. Udělal jsem stejnou blbost, ale pak jsem si vlastně uvědomil, že  
$$
\det\left( \frac{1}{24} A \right) = \frac{1}{24^2} \det(A)
$$
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="lukyj", timestamp=2015-06-17 14:03:34)}>
Srry, cele jsem to nějak špatně pochopil. Kdybych mohl příspěvek smazat, tak to udělám :)
<{/ForumPost}>