# Hladík 27.6.2011

<{ForumPost(poster="prazskydemon", timestamp=2011-06-27 12:49:46)}>
Skupina A:  
1. Zformulujte a dokažte Cauchy-Schwarzovu nerovnost (nad tělesem reálných čísel). (4)  
  Zformulujte a dokažte Trojúhelníkovou nerovnost. (3)  
  
2. K řádkovému prostoru matice  
$$A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 & 2 \\ 3 & 4 & -2 & 3 \\ 3 & 5 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$  
najděte ortonormální bázi jeho ortogonálního doplňku. (6)  
  
3. Buď  
$$A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 4 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}$$  
matice kvadratické formy vzhledem k bázi B. Nechť $\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \lambda_3$ jsou vlastní čísla A. Najděte bázi B takovou, aby matice formy vzhledem ke kanonické bázi byla  
$\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{pmatrix}$. (6)  
  
4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá:  
(a) Je-li $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ a $rank(A)<n-1$, pak $adj(A)=0$. (2)  
(b) Nechť matice A řádu 3 má jediné vlastní číslo 2, pak není diagonalizovatelná. (2)  
(c) Matice A je positivně definitní  
$A=\begin{pmatrix} 12 & 3 & 2 & 3 & 3 \\ 3 & 7 & 0 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 5 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & -9 & e \\ 3 & -1 & 1 & e & 8 \end{pmatrix}$. (2)  
(d) Jsou-li $b,c: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ dvě bilineární formy, pak $b+c$ je také bilineární forma. (2)
<{/ForumPost}>