# 18.6.2015 - Hladík

<{ForumPost(poster="PObdr", timestamp=2015-06-18 16:43:11)}>
Zadaní A  

1.  Zformulujte a dokažte větu o Sylvestrově zákonu setrvačnosti. **7**  
 Definujte ortogonální matici. **1**
1.  Uvažujme skalární součin $\left\langle x,y\right\rangle = x^T Ay$, kde  
$A = \begin{pmatrix}1&1&2\\1&2&1\\2&1&6\end{pmatrix}$  
 V tomto skalárním součinu najděte ortonormální bázi $\mathbb{R}^n$. **6**
1.  Určete matici projekcí na všechny přímky ve směrech vlastních vektorů matice  
$A = \begin{pmatrix}2&0&0\\0&-3&4\\0&4&3\end{pmatrix}$. **6**
1.  Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá:

    1.  Čtvercové matice $A$ řádu $n$ takové, že $\text{det}(A) = 1$, tvoří s maticovým násobením grupu. **2**
    1.  Má-li matice $A$ vlastní číslo $\lambda$, pak matice $A^2 - 7A + 5I$, má vlastní číslo $\lambda ^2 - 7 \lambda + 5$. **2**
    1.  Buď $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ regulární. Pak $A$ i $A ^{-1}$ mají stejnou Jordanovu normální formu. **2**
    1.  Je-li $A$ pozitivně definitní matice, pak $\text{adj}(A)$ je také pozitvně definitní. **2**

----

Zadaní B  

1.  Zformulujte a dokažte větu o charakterizaci positivně definitních matic.**7**  
  Zformulujte Cauchyho-Schwarzovu nerovnost.**1**
1.  Uvažujme skalární součin $\left\langle x,y\right\rangle = x^T Ay$, kde  
$A = \begin{pmatrix}1&2&1\\2&5&1\\1&1&3\end{pmatrix}$  
 V tomto skalárním součinu najděte ortonormální bázi $\mathbb{R}^n$. **6**
1.  Určete matici projekcí na všechny přímky ve směrech vlastních vektorů matice  
$A = \begin{pmatrix}1&6&0\\3&1&0\\0&0&7\end{pmatrix}$. **6**
1.  Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá:

    1.  Čtvercové matice $A$ řádu $n$ takové, že $\text{det}(A) = \pm 1$, tvoří s maticovým násobením grupu. **2**
    1.  Má-li matice $A$ vlastní vektor $x$, pak matice $A^2 - 7A + 5I$, má vlastní vektor $x$. **2**
    1.  Buď $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ regulární. Pak $A$ mají stejný počet Jordanových buněk ve svých Jordanových normálních formách. **2**
    1.  Matice projekce při standardním skalárním součinu je vždy pozitvně semidefinitní. **2**

----

Hodnocení  
$1 \geq 21$  
$2 \geq 17$  
$3 \geq 12$  
$4 \geq 7$  
$5 \geq -\infty$   
  
Hodnocení bez záruky, počty jsou před ústní částí.  

----

Statistika přihlášení  
Via petrroll

 > 5 dní před zkouškou: přihlášených 56 / 56 lidí, několik čeká na uvolnění  
 > 4 dni před zkouškou: přihlášených 54 / 56 lidí  
 > 1 den před zkouškou: přihlášených 40 / 56 lidí  
 > ráno před zkouškou: přihlášených 36 / 56 lidí

<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="petrroll", timestamp=2015-06-18 18:07:58)}>
Ústní na doopravu bylo tentokráte speciální. Namísto klasického vytáhnutí věty / důkazu si člověk vylosoval téma a měl k němu nakreslit mind-mapu souvisejících pojmů. Prakticky se čekala tak nějaká střední velikost + když byl člověk na hraně, tak si ještě většinou mohl vybrat jeden důkaz ze svého orkuhu a ten dokázat.  
  
Obecně to mělo dost nadprůměrnou úspěšnost. Přesné statistiky neznám, ale co jsem viděl, tak to bylo ok.
<{/ForumPost}>