# 14. 9. 2017 - Hladík

<{ForumPost(poster="Sejsel", timestamp=2017-11-11 18:11:27)}>
1.   
Zformulujte a dokažte Gramovu-Schmidtovu ortogonalizaci \[7 bodů]  
Definujte pojem bilineární forma \[1 bod]  
2.  
Určete matici projekcí na všechny přímky ve směrech vlastních vektorů matice \[6 bodů]  
$A = \begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\0 & -3 & 4 \\0 & 4 & 3 \\\end{pmatrix}$
3.  
Pro polynom $p(x) = (x-1)^n$

1. najděte matici společnici $C_p$ \[2 body]
1. najděte Jordanův normální tvar $C_p$ \[2 body]
1. najděte všechny vlastní vektory $C_p$

4.  
Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá:

1. Matice projekce na přímku $\text{span}(u)$, kde $u \in \mathbb{R}^n, ||u||_2 = 1$, je rovna $uu^T$.
1. Jsou-li matice $A, B$ podobné, pak $\text{rank}(A) = \text{rank}(B)$.
1. Každou positivně definitní matici $A$ lze rozložit $A = LL^T$, kde $L$ je dolní trojúhelníková matice se zápornou diagonálou.
1. Pro každou regulární matici $A$ platí $\det(AA^TA^{-1}) = 1$

<{/ForumPost}>