# 13. 6. 2017 - Hladík

<{ForumPost(poster="MC RIDE", timestamp=2017-06-13 17:15:38)}>
$$$$  
  
1) Zformulujte a dokažte větu o Sylvestrově zákonu setrvačnosti (7b)  
  
Definujte pojem vlastní číslo matice (1b)  
  
2)  
  
Na prostoru R^3 uvažujme skalární součin <x, y> := x1y1 + x2y2 - x2y3 -x3y2 +2x3y3.  
  
a) Spočítejte projekci vektoru u = (1, 4, 1)T na podprostor V = span { (1, 1, 1)T, (3, 3, 1)T } (3b)  
  
b) Najděte ortogonální doplněk V (3b)  
  
  
3)  
  
Buď A:  
      1   1  2  
     1   -2  1  
      -2  1   1  
  
Najděte nejmenší α takové, aby x^T Ax + α ||x||^2 >= 0 pro všechna x E R^n, při eukleidovské normě. Co representuje toto číslo? (6b)  
  
4) Rozhodněte a zdůvodněte: (2b každé)  
  
a) Pro prostory U, V platí U ⊆ V^⊥ => U^⊥ ⊆ V  
  
b) Buď u E R^n a nechť A E R^nxn má vlastní vektor v příslušný vlastnímu číslu α. Pak A + vu^t má vlastní číslo α + u^tv  
  
c) Buď A E R^nxn positivně definitivní matice. Zvětšíme-li prvek a11, dostaneme opět positivně definitivní matici.  
  
d) Je-li A symetrická matice, pak i adj(A) je symetrická.  
  
  
U zkoušky bylo 6 lidí a 3 zkoušející (Šejnoha, Klavík, Hladík) a i tak ústní trvalo cca 3,5 hodiny. Hodnocení mírné, zkoušející jsou trpěliví a nesnaží se vás potopit, spíš naopak.
<{/ForumPost}>