# Hladík 7.6.2012

<{ForumPost(poster="Abby", timestamp=2012-06-07 16:29:40)}>
1. Zformulujte a dokažte větu o Sylvestrově zákonu setrvačnosti. (8 b)  
  
2. Mějme matici a vektor řádu  $n \ge 2$.  
a) Spočítejte det(A). (3 b)  
b) Spočítejte první složku x<sub>1</sub> řešení soustavy Ax = b. (3 b)  
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & 2 \\ 2 & 2 & \ddots & \vdots \\  \vdots  & \ddots  & \ddots & 2 \\ 2 & \cdots & 2 & n \end{pmatrix} , b = \begin{pmatrix} n \\ n-1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}$$  
  
3. Na prostoru R<sup>3</sup> uvažujme skalární součin <x, y> := x<sub>1</sub>y<sub>1</sub> + x<sub>2</sub>y<sub>2</sub> - x<sub>2</sub>y<sub>3</sub> - x<sub>3</sub>y<sub>2</sub> + 2x<sub>3</sub>y<sub>3</sub>.   
V tomto skalárním součinu:  
a) Spočítejte projekci vektoru u = (1, 4, 1)<sup>T</sup> na podprostor V = span{(1, 1, 1)<sup>T</sup>, (3, 3, 1)<sup>T</sup>}. (3 b)  
b) Najděte ortogonální doplněk $V^\perp$. (3 b)  
  
4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá:  
a) Buď $A \in R^{m\times n}$ a P matice projekce do S(A). Potom PA = A. (2 b)  
b) Spektrální rozklad reálné symetrické matice je jednoznačný. (2 b)  
c) Buď $A \in R^{m\times n}$ positivně semidefinitní matice a $\lambda_n$ její nejmenší vlastní číslo. Pak $\lambda_n I_n - A$ je také positivně semidefinitní matice. (2 b)  
d) Každá reálná matice lze rozložit na součin dolní trojúhelníkové a ortogonální (v tomto pořadí). (2 b)
<{/ForumPost}>