# 19. 5. 2023 - Fiala (bonusový předtermín)

<{ForumPost(poster="vitSkalicky", timestamp=2023-05-20 15:40:25)}>
1.  Definujte Laplacovu matici.    
Dokažte nebo vyvraťte: Pro každou Laplacovu matici platí, že vektor $(-2, -2, -2,...)^T$ odpovídající délky je jejím vlastním vektorem. (platí)
1.  Definujte geometrickou násobnost vlastního čísla.    
Dokažte nebo vyvraťte: Každá singulární komplexní matice má alespoň jedno vlastní číslo s algebraickou násobností různou od geometrické. (neplatí)
1.  Definujte pozitivně definitní matici.    
Dokažte nebo vyvraťte: Každá matice řádu n ≥ 2 , kde $a_{11} = a_{1i} = a_{i1} = a_{ii}$ není pozitivně definitní. (platí)
1.  Uveďte a dokažte větu o izometrii a vlastnostech její matice.
1.  Přehledově sepište, co víte o polynomech.
1.  Mějme v $\mathbb{Z}_5^3$ kvadratickou normu g s následující maticí vůči kanonické bázi:    
$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 \\
2 & 0 & 3 \\
0 & 3 & 4
\end{pmatrix}
$ 
Jaká je její matice vůči bázi $X = ((1,0,1)^T, (0,1,2)^T, (2,1,0)^T)$

<{/ForumPost}>