# 12. 1. 2012 Matoušek (Předtermín)

<{ForumPost(poster="mjk", timestamp=2012-01-12 16:29:53)}>
Každý dostal jeden lísteček L (lehčí) a jeden buď T (těžší), nebo P (příklad). Na přípravu bylo (prý) dvacet až třicet minut, pak nás začali obcházet.  
  
30?L  
Rozhodněte, zda je následující výrok správný: řádkový prostor matice AB je obsažen v řádkovém prostoru matice B kdykoli je součin definován.  
  
41T  
U je vektorový prostor, V a W jeho podprostory, dim(V) + dim(W) > dim(U). Dokažte, že existuje nenulový vektor v náležející průniku V a W. Nápověda: použijte Steinitzovu větu.  
  
Hodně štěstí!
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="LordG", timestamp=2012-01-12 17:37:53)}>
Další příklady:  
  
1)  
U vektorový prostor, f zobrazení z něj. Rozhodněte, jestli dim f(U)+rank f = dim U  
  
2)  
v systému generátorů {(2,3,1),(3,0,2),(0,1,1),(4,5,5)} najděte bázi..  
  
a ještě extra jsem měl napsat Steinitze :)
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="pizet", timestamp=2012-01-13 07:58:35)}>
1) Nech je daný *n*-dimenzionálny vektorový priestor *V* a nejaká ľubovoľná sústava *n* generátorov *V*. Je tá sústava báza *V*? Zdôvodniť.  
  
2) Nech *A*, *B* sú matice typu *m x n*. Dokážte, že *rank(A + B) <= rank(A) + rank(b)*. Uveďte príklad matíc, pre ktoré je nerovnosť ostrá a pre ktoré nastane rovnosť.  
  
Doplňujúca: Definujte maticu lineárneho zobrazenia.
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="soso", timestamp=2012-01-13 10:32:27)}>
1.) V odstupnovanom tvare matice A nie je ziadny nulovy riadok. Dokazte ze existuje matica $A^{-1}$.  
2.) Ukazat ze mnozina prostych zobrazeni z mnoziny {1,2,... 2012} do tej istej mnoziny s operaciou skladania je grupa.
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="Locky", timestamp=2012-01-13 11:52:11)}>
16 L   
Vektory (v1, v2, v3, v4) jsou báze VP. Dokažte, že i (v1 + v3, v2 - v4, v4, v3) jsou báze. (nějak tak to bylo, už si přesně nepamatuji, co se tam s čím sčítalo/odečítalo...).  
  
42 P  
Máte matici A typu m x n, víte, že soustava Ax = b má (minimálně jedno) řešení pro každý vektor b z R^m, dokažte, že soustava (At)y = 0 (transponovaná matice k A) má právě jedno řešení. Byla tam nápověda. Něco ve stylu pokud nevíte, zkuste něco zjistit o řádkovém prostoru matice.  
  
Pak se mě ještě ptal na pár otázek ohledně regulárních matic.  
  
Hodně štěstí :-)
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="shanoona", timestamp=2012-01-25 14:43:15)}>
Já měla  
L: Rozhodnete, zda nasledujici vyrok plati: pokud V je vektorovy prostor a U1 a U2 jeho vektorove podprostory, pak v nekterych pripadech je prunik U1 a U2 vektorovym podprostorem V, ale neplati to obecne.  
  
T: něco jako že řešení homogenní sst se dá zapsat jako x_0 + Ker(A).... nebo tak něco a pak se mě ptal na afinní podprostory
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="dxxd", timestamp=2012-02-03 17:40:40)}>
L: Rozhodněte, zda platí, že pro všechna tělesa je 1 = -1.  
P: Určete dimenzi řádkového prostoru matice, její jádro a určete, zda se jedná o isomorfismus.  
  
Doplňující: Definice isomorfismu, Steinitzova věta a důkaz, mají-li dvě báze stejnou mohutnost, tak se rovnají.
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="mykem", timestamp=2012-02-13 00:33:02)}>
Měl jsem sice jinej termín, ale je to celkem jedno...  
  
L: Platí-li pro prvek tělesa a, že $a^2 = 0$, je pravda, že pak nutně a = 0?  
(ano, je to pravda)  
  
T: A, B reg. matice. Platí pak vždy, že A * B, resp. A + B jsou též regulární?  
(součin ano, součet ne)  
  
D: Může existovat vektorový prostor, který má přesně 25 vektorů?  
(může, 25 je prvočíslo na alfa - $5^2$)  
  
Zkouška byla pohodová - příjemná atmosféra a hodní zkoušející... Není se čeho bát, je to opravdu o tom, jestli tomu rozumíte... Hodně štěstí :)
<{/ForumPost}>