1.
a) Buď $M$ vektorový prostor všech racionálních matic typu $2 \times 2$. Najděte nějakou jeho bázi $B$ a určete dimenzi **(2)** \
b) Najdetě ještě další bázi $C$ téhož vektorového prostoru $M$, a takovou, že neobsahuje žádný prvek z báze $B$. **(2)** \
c) Najděte matici přechodu $_CM_B$ od báze $B$ k bázi $C$, a matici přechodu $_BM_C$ od báze $C$ k bázi $B$ **(4)**

---
2. Napište a dokažte Steinitzovu větu. V jejím důkazu můžete použít tzv. Lemma o výměně, které nemusíte dokazovatů pokud toto lemma budete používat, je potřeba ho přesně zapsat. **(6)**.

---
3.
a) Napiště definici tělesa. **(2)** \
b) Uvaže čtyřprvkovou množinu $F = \{0, 1, x, y\}$ a na ní dvě binární operace $+$ a $\cdot$ definované následujícím způsobem: 
$
   \begin{array}{|c||c|c|c|c|}
   \hline
   +_{} & 0 & 1 & x & y \\ \hline \hline
   0 & 0 & 1 & x & y \\ \hline
   1 & 1 & 0 & y & x \\ \hline
   x & x & y & 0 & 1 \\ \hline
   y & 0 & 1 & x & y \\ \hline
\end{array}
$
$
   \begin{array}{|c||c|c|c|c|}
   \hline
   \cdot & 0 & 1 & x & y \\ \hline \hline
   0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
   1 & 0 & 1 & x & y \\ \hline
   x & 0 & x & y & 1 \\ \hline
   y & 0 & y & 1 & x \\ \hline
\end{array}
$
Rozhodněte, zda trojice $(F, +, \cdot)$ je tělesem. **(6)**

---
4.Které z následujících výroků jsou správně? Zdůvodněte. \
a) Pro matice $A \in \Reals^{n \times k}$ platí: je-li $AB=0$, pak $S(B) \sube Ker(A)$ (symbol $S(B)$ označuje sloupcový prostor matice $B$, symbol $Ker(A)$ jádro matice $A$, a $0$ zde označuje nulovou matici typu $m \times k$). **(2)** \
b) Je-li $V$ vektorový prostor dimenze $n$, pak libovolných $n$ lineárně nezávislých vektorů tvoří bázi $V$. **(2)** \
c) Soustava $Ax=b$ má řešení právě tehdy když, když hodnost $A$ je rovna hodnosti $(A|b)$ (kde $(A|b)$ značí matici $A$, ke které je přidán jako další sloupec vektor $b$). **(2)** \
d) Je-li $f: U \rarr V$ lineární zobrazení a $B$ báze prostoru $U$, potom obraz $B$ tvoří bázi prostoru $f(U)$. **(2)**