# Hladík 28.01.2010

<{ForumPost(poster="John Beak", timestamp=2010-01-28 11:05:09)}>
Přiblížné zadání dle mé paměti:  
  
1) zadány dva vektory, které se měly doplnit na bázi B tak, aby  
zadaná matice lineárního zobrazení z B do kanonické báze  
zobrazila z $R^3->R^3$ zadaný vektor na zadaný vektor  
  
2) zadané dvě soustavy rovnic typu Ax=0 na $Z_5$, za úkol zjistit, zda-li mají stejnou množinu řešení  
  
3) zformulujte Cauchy-Schwarzovu nerovnost a dokažte  
  
4) tvrzení ano/ne:  
(nepamatuju)  
  
  
Doplním to, až budu mít písemku v ruce. Přišlo mi to mnohem lehčí, než na předtermínu, ale přesto je riziko, že to nenapíšu. Holt ráno s má spát a ne psát ;)
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="adamo", timestamp=2010-01-28 13:58:28)}>
Moja verzia  
  
1 doplnte vektory (2,1,1), (1,0,2) an bazi B prostoru R3 tak aby linearni zobrrazeni f: R3->R3 definovane   
  
$_B[F]_{kan}=$  
2 1 4  
-1 2 3  
3 -2 -1  
  
splnovalo (1,1,1) parti Ker(F)  
  
2. Uvazujme 2 podprostory prostoru $Z_7^4$ definovane  
  
U=span{(4 4 4 2),(2 5 1 1), (2 6 3 1)}  
V=span{(1 2 3 4),(2 0 5 1)}  
rozhodnite zda U=V  
  
3 Sformulujte Gram-schmidtovu ortogonalizacnu metodu a dokazte jeji spravnost  
  
4. (Ano/nie) + dovod  
a) Bud A horni troujehlnikova ctevrcova matice, tj $a_{aj}=0$ pro i>j. Par $A^2$ je zase troujehlnikova  matice  
b) Bud A parti $R^{m\times n}$ b parti $R^m$. Mnozina reseni soustavy Ax=b je rovna mnozine reseni soustavy BAx=Bb pro kazdou ctvercovou matici B parti $R^{m\times m}$  
C) Bud U podprostor V a u,v patri V\U. potom nikdy nenastane u+v patri U  
d) Bud f U->V linearni zobrazeni a dim(U)>dim(V) potom jadro Ker(f) obsahuje aspon 1 nenulovy vektor
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="ostan", timestamp=2010-01-28 15:10:36)}>
Tak já to zadání doplním za tebe :)  
  
Zkouška Lineární algebra I, 28.1.2010 **A**  
1. Doplňte vektory $(2,1,1)^T$, $(1,0,2)^T$ na bázi *B* prostoru $R^3$ tak aby lineární zobrazení $f: R^3\to R^3$ definované  
$_B[f]_{kan} =$   
1, 2, 3  
-1, 0, -6  
1, 3, 6  
splňovalo $f((3,2,1)^T) = (3,4,2)^T$  
6 bodů  
  
2. Nad tělesem $Z_5$ uvažujeme soustavu rovnic   
$4x_1 + 3x_2 + x_3 + 2x_4 = x_1 + 2x_3 + 3x_4 = 0$
a  
$4x_1 + x_2 + 4x_3 + 2x_4 = x_2 - x_3 = 0$.  
Rozhodněte, zda množiny řešení obou soustav jsou stejné či nikoliv.  
6 bodů  
  
3. Zformulujte a dokažte Cauchy-Schwarzovu nerovnost (pro prostory nad **R**)  
8 bodů  
  
4. Rozhodněte a zdůvodněte, které z následujících tvrzení jsou pravdivé:  
(a) Buď *A* horní trojúhelníková matice, tj. $a_{ij} = 0$ pro *i* > *j*. Pak $A^T A$ je zase horní trojúhelníková matice  
(b) Buď *A* z $R^{m \times n}$ *B* z $R^{m \times m}$, *b* z $R^m$. Potom každé řešení soustavy *Ax = b* je také řešením soustavy *BAx = Bb* pouze pokud *B* je regulární matice.  
(c) Buď *U* podprostor *V* a $v \in V \setminus U$ a $\alpha$ skalár. Potom nikdy nenastane $\alpha v \in U$  
(d) Buď $f : U \to V$ lineární zobrazení a $u,v \in U$ dva různé vektory. Pokud $f(u) = f(v)$, pak $Ker(f)$ má dimenzi alespoň jedna.  
(každé za dva body)  
  
Na jedničku bylo potřeba aspoň 21 bodů.
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="m9ra", timestamp=2010-02-03 00:22:33)}>
Nenašla by se tu dobrá duše, která by dala radu jak si poradit s příkladem číslo 1? Není mi jasné jak si mám přebrat toto:  
 ..splňovalo f((3,2,1)T) = (3,4,2)T...  
  
Vektor (3,2,1)T je myšelno vůči bázy B? Pokud ano, tak se mi numericky nepodařilo dopočítat k nějakému výsledku  
Pokud je 321 myšleno ke kanonické bázy, tak ale nevím jak by mohl výběr 3tího vektoru do báze ovlivnit výsledek tohoto zobrazení.  
  
Děkuji za každý podnět k řešení
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="kolage", timestamp=2010-02-03 13:22:38)}>
K příkladu 1...  
  
Já jsem to řešil takto, ale nevím jestli správně...  
  
Vzal jsem nejdřív jako bázi B vektory (2,1,1), (1,0,2) a (3,2,1) (jsou l.n.), dal jsem je do matice a vypočítal inverzi, abych zjistil B\[id]kan a mohl tak vypočítat kan\[f]kan ...  
  
kan\[f]kan = ((-4, 6, 3), (8, -13, -4), (-11, 16, 7)) (po řádcích)  
  
f((2,1,1)) = (1,-1,1), f((1,0,2)) = (2,0,3), f((3,2,1)) = (3,-6,6), a my potřebujeme vektor který se zobrazí do (3,4,2), tedy x(-4,8,-11) + y(6,-13,16) + z(3,-4,7) = (3,4,2) ...  
  
Hodil jsem to do matice a vypadl mi vektor (3,0,5). Ale nevím jestli je to správně no :( ... Když tento vektor projedu matici zobrazení, zobrazí se na (3,4,2).
<{/ForumPost}>