# Hladík 27.1.

<{ForumPost(poster="tomas.milata", timestamp=2009-01-27 14:40:50)}>
1) Zformulujte větu o ortogonální projekci do podprostoru ( nad obecným skalárním součinem).  
2)  Buď X = {x náleží R3 | x1+3x2-x3 = 0} a f: R3 -> R3 lineární zobrazení definované: f((-3,4,-2)) = (1,-2,1), f(4,-5,3) = (2,3,0), f(2,-2,1)=(1,0,2). V obraze množiny X zobrazení F najděte dva na sebe kolmé nenulové vektory.  
3) Nad tělesem Z5 uvažujeme soustavy rovnic   
4x1+3x2+x3+2x4=x1+2x3+3x4=0   
a  
4x1+x2+4x3+2x4=x2-x3=0 .  
Rozhodněte, zda množiny řešení obou soustav jsou stejné či nikoliv.  
4) Rozhodněte a zdůvodněte, která z trvrezní jsou pravdivá.   
a) Buď A horní trojúhelníková čtvercová matice. Pak AT A je horní trojúhelníková matice.  
b) A,B náleží R mxn, b Rm, Potom každé řešení soustavy Ax=b je také řešením soustavy BAx = Bb pouze pokud B je regulární matice.  
c) Existují vektory u,v  v C5 t.ž. ||u|| =2, ||v|| = 2 a <u,v>= 4+3i.  
d) Exsituje ortogonální matice obsahujíví řádky (1/2,1/2,-1/2,1/2) a (1/2,-1/2,1/2,1/2)  
  
  
Jinak osobně i to připadalo celkem těžký, dopadly podle toho i výsledky... Z písemný části měli všichni za 3 nebo za 4, nic lepšího nebylo... a měli jsme možnost si to o stupeň vylepšit ústně.
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="tomas.milata", timestamp=2009-01-27 14:43:34)}>
Jo a na trojku bylo potřeba 10 bodů z 22, přičemž na první úlohu bylo 8, za druhou a třetí 6 a za čtvrtou po 2 za každou část.
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="pavel mach", timestamp=2009-01-31 21:38:38)}>
moje varianta:  
1) zformulujte a dokažte větu o projekci do maticového podprostoru  
2) najděte dva na sebe kolmé nenulové vektory z $R^4$ takové, že jejich obrazy jsou nějaký násobky funkce sin(x) při lineárním zobrazení $f: R^4 \to F$ definovaném:  
f((2,1,2,1)) = sinx + 2cos(x) - 3exp(x),  
f((0,3,1,0)) = 2cos(x) - exp(x),  
f((-1,0,-1,2)) = -sin(x) + exp(x)  
f((-4,6,-2,0)) = -3sin(x) + 3cos(x) + 2exp(x)  
3) Uvažujme dva podprostory prostoru $Z_7^4$ definované  
U = \[(4,4,4,2), (2,5,1,1), (2,6,3,1)]  
V = \[(1,2,3,4), (2,0,5,1)]. Rozhodněte, zda U=V  
4) Rozhodněte a zdůvodněte, které z následujících tvrzení jsou pravdivé:  
a. Buď A horní tojúhelníková čtvercová matice, tj. $a_{ij} = 0$ pro i>j. Pak $A^2$ je zase horní trojúhelníková matice.  
b. Buď $A$ elementem $R^{m \times n}$, b elementem $R^m$. Množina řešení soustavy Ax = b je rovna množině řešení soustavy BAx = Bb pro každou čtvercovou matici B elementem $R^{m \times n}$.  
c. Existují vektory u, v elementy $C^5$ takové, že ||u|| = 1, ||v|| = 4 a <u,v> = 3+4i.  
d. Existuje ortogonální matice obsahující sloupce $(1/3, 1/3, -1/3, 1)^T$ a (0, 1/3, 1/3, 1/3).  
  
Hodnocení i pocity stejný jako kolega, jen bych dodal že ústní zkoušení bylo dost mírný - myslim že si známku vylepšili všichni kdo zůstali.
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="Jookyn", timestamp=2009-01-31 22:49:58)}>

 > pavel mach wrote:ústní zkoušení bylo dost mírný

A co tam přibližně bylo? Věty, důkazy, definice, příklady?
<{/ForumPost}>