# 26.1.2012 Hladík

<{ForumPost(poster="Danstahr", timestamp=2012-01-26 19:32:01)}>
Varianta A :   
  
1) Formulujte a dokažte Steinitzovu větu o výměně.  
  
2) Nad tělesem $\mathbb{Z}_{5}$ uvažujme 
  
$$A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 1\\2 & 1 & 2\\1 & 3 & 2\end {array}\right),\quad
B=\left(\begin{array}{ccc}0 & 3 & 0\\2 & 0 & 1\\4 & 2 & 0\end{array}\right)$$
  
Určete dimenzi a najděte bázi prostoru matic $V = \{X \in \mathbb{Z}_{5}^{3\times3}  |  AX = BX \}$
  
3) Buď B báze $\mathbb{R}^{3}$ skládající se z vektorů $v_1 = {(1, -1, 1)}^{T}, v_2 = {(0, 1, -2)}^{T}, v_3 = {(1, -1, 0)}^{T}$.  

* Uvažme zobrazení, které každému vektoru $x \in \mathbb{R}^{3}$ se souřadnicemi $[x]_B = (\alpha, \beta, \gamma)$ přiřadí vektor ${\alpha}v_1 + {\beta}v_2$. Ukažte, že toto zobrazení je lineární a najděte jeho matici vzhledem ke kanonické bázi.
* Dokažte, že každý vektor $x \in \mathbb{R}^{3}$ se dá jednoznačně rozepsat jako $x = y + z$, kde $y \in span(x_1, v_2)$ a $z \in span(v_3)$.

4)Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá :   

* Je-li $A, B, C \in \mathbb{R}^{n{\times}n}$ a $ABC = I_n$, pak také $CAB \in I_n$.
* Buďte $U, V$ podprostory $W$, $u_1,\ldots,u_n$ báze $U$ a $v_1,\ldots,v_m$ báze $V$. Potom $u_1,\ldots,u_n,v_1,\ldots,v_m$ je báze $U+V$.
* Pro každou matici $A \in \mathbb{R}^{n{\times}n}$ a $k \in \mathbb{N}$ platí $rank(A^k) \geq rank(A^{k+1})$.
* Buď $f:\mathbb{R}^{n} \mapsto \mathbb{R}^{m}$ lineární zobrazení, jehož matice vůči nějaké bázi má hodnost $m$. Potom $f$ je prosté.

Za případné překlepy se omlouvám.
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="Anonymous", timestamp=2012-01-26 23:58:51)}>
Víte někdo, jak spočítat tu dvojku?
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="Mihulik", timestamp=2012-01-27 09:20:59)}>
AX=BX => AX - BX = O => (A-B)X = O a ukázat, že A-B je regulární. Pak už je řešení jasné:)
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="Anonymous", timestamp=2012-01-27 11:24:32)}>
Vyšlo mi A-B, že není reg. Co teď?
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="Vitus", timestamp=2012-01-27 13:52:26)}>
Tady je zadání varianty B. Pokud to po mně přečtete, tak vlastně i vypracování.  
  
[http://img706.imageshack.us/img706/7696/001xvx.jpg](http://img706.imageshack.us/img706/7696/001xvx.jpg)  
[http://img215.imageshack.us/img215/5752/002xwu.jpg](http://img215.imageshack.us/img215/5752/002xwu.jpg)  
[http://img853.imageshack.us/img853/8278/003xkdz.jpg](http://img853.imageshack.us/img853/8278/003xkdz.jpg)  
[http://img215.imageshack.us/img215/7350/004xajf.jpg](http://img215.imageshack.us/img215/7350/004xajf.jpg)  
[http://img825.imageshack.us/img825/2229/005xse.jpg](http://img825.imageshack.us/img825/2229/005xse.jpg)
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="Mihulik", timestamp=2012-01-27 18:47:31)}>

 > Návštěvník wrote:Vyšlo mi A-B, že není reg. Co teď?

Tak vyjádříme řešení homogenní soustavy a podle toho vidíme bázi a tedy i její velikost:)  
  
Omlouvám se, jak jsem to rychle prolétl, tak jsem myslel, že je regulární.
<{/ForumPost}>