# 20. 1. 2011 - Hladík

<{ForumPost(poster="gertasik", timestamp=2011-01-20 15:35:04)}>
Na zkoušku je 90 minut.  
  
  
1. Definujte pojem lineární zobrazení (1 bod).  
Zformulujte a dokažte větu o maticové reprezentaci lineárního zobrazení (7 bodů).  
  
  
2. Buď  
A = (1 2 1)    B = (1 3 2)  
      (2 4 2)         (2 4 -1)  
      (1 2 1)         (-1 1 8 )  
(to jsou matice, kdyby to někdo nepoznal :D)  
a) Najděte nenulový vektor x náleží Ker(A) průnik S(B) (3 body).  
b) Rozhodněte zda Ker(A) + S(B) = R^3 (3 body).  
  
  
3. Buď  
B2\[f]B1 =  
(1 2 3)  
(3 -1 3)  
(-2 10 6)  
matice linárního zobrazení f: R^3 -> R^3 vůči bázím B1, B2, přičemž  
  
B1 se skládá z (1, -1, -1)^T, (1,1,-1)^T, (0,1,1)^T,  
B2 se skládá z (2,1,2)^T, (-4,2,-2)^T, (1,-1,-1)^T.  
  
Najděte bázi obrazu f(R^3) a rozšiřte ji na bázi R^3.  
(6 bodů)  
  
  
4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá: (po 2 bodech)  
(a) Je-li soustava Ax = b řešitelná a soustava Ax = c také, potom je soustava Ax = b + c rovněž řešitelná.  
(b) Nechť matice Q náleží R^m*n převádí A náleží R^m*n do redukovaného odstupňovaného tvaru, tj. QA = RREF(A). Pak matice Q je určena jednoznačně.  
(c) Pokud A*A^T je regulární, pak řádky matice A jsou lineárně nezávislé.  
(d) Buďte f: U->V a g: V->W lineární zobrazení. Je-li g o f prosté, potom i f je prosté.  
  
  
No nebylo to zrovna dvakrát triviální, tomu odpovídaly i známky :-) Z asi dvaceti lidí jedna dvojka, dvě trojky, dvě pětky a zbytek čtyřky :-) Pokud nemáte 5 (neopravitelná 4), tak si to můžete pak na ústní části opravit o známku.  Ústní část je celkem v pohodě, dostanete na vylosování papírek buď s nějakým důkazem nebo pojmem, máte přibližně 10-15 minut na přípravu a pak předvedete, co umíte :-)
<{/ForumPost}>