# 14.1. 2014 - Hladík

<{ForumPost(poster="Kamrusepa", timestamp=2014-01-24 22:03:22)}>
1)  Definujte pojem znaménko permutace (1)                         
     Zformulujte a dokažte větu o dimenzi jádra a hodnosti matice (7)
  
2) Uvazujme dva podprostory prostoru $R^4$:  
  - $U = span\{(1,2,1,2), (1,1,1,1)\}$
  - $V = \{(x_1, x_2, x_3, x_4) \in R^4; x_1 + x_2 = x_3 + x_4, x_1 + x_3 = x_2 \}$

*  Najdete vektor $x \in U \setminus V$. (2) 
*  Najdete vektor $y \in V \setminus U$. (4)

3) Buď  
    $B = \begin{pmatrix}  0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}  C = \begin{pmatrix}  0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
    Pro lineární zobrazení $f : R^{2 \times 2} \to  R^{2 \times 2}$ definovane $f(A) = BA + AC$ najdete:  

*  bazi obrazu $f(R^{2 \times 2})$,
*  baz jadra, 
*  bazi prostoru matic $A \in R^{2 \times 2}$ splnujicich $f(A) = f(f(A))$. 

4) Rozhodnete a zduvodnete, ktera z nasledujicich tvrzeni jsou pravdiva:

*  Bud $A,B \in R^{n \times n}$. Pak $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$. (2) 
*  Bud $A \in R^{n \times n}$ regularni matice. Pak $A$ lze elementarnimi radkovymi upravami prevest na $A^2$. (2)
*  Budte $U,V,W$ podprostory nejakeho vektoroveho prostoru. Pak $(U+V) \cap (U+W) \subseteq U + (V \cap W)$. (2)
*  Pro linearni zobrazeni $f: U \to V$ a $u,v,w \in U$ plati $f(span\{u,v,w\}) = span\{f(u),f(v),f(w)\}$. (2)

<{/ForumPost}>