# Hladík 11.2.2010

<{ForumPost(poster="maky", timestamp=2010-02-11 16:36:41)}>
varianta A:  
1. Lin. zobr. f: R3 --> P2 je zadane matici B_1\[f]B_2 =   
(3, -4, 1  
1, 1, 5  
2, -2, 2)  
přičemž B_1 = ((2, -1, 2), (1, 3, -2), (7, 2, 4)), B_2 = (x+1, -x^2 + 2x -2, x^2 + x).  
Najděte bázi jádra Ker(f).   \[6 bodu]  
  
2. Definujte pojem báze.  
Zformulujte a dokažte větu o existenci báze. \[2+6 bodu]  
  
3. Nad tělesem Z5 uvažujme dva prostory U, V:  
U = Ker(2  1  4  
           1  3  2)     ....jádro dane matice  
V = R(1  1  2  
        4  3  2)       ...řádkový prostor dané matice  
Najděte bázi prostoru U+V a prostoru (U průnik V).  \[6 bodu]  
  
4.Rozhodněte a zdůvodněte pravdivost: \[po 2 bodech]  
a) Pro každou čtvercovou matici A platí, že S(A) podmnožinou Ker(A) implikuje A^2 = 0.  
b) Buď V vekt. p. nad T, u,v,w leží ve V. Potom u e span(v,w) právě když u patří do span(av, bw), pro každé a,b z T.  
c) Buď f: R^n -->R^m lin. zobr., jehož matice (vůči kan. bázi) má hodnost n. Potom f je na.  
d) Inverzni matice k symetrické reg. matici je opět symetrická matice.
<{/ForumPost}>