# Hladík 10.2.2011 - B

<{ForumPost(poster="Alesak", timestamp=2011-02-10 16:03:15)}>
1. Definujte pojem jádro matice  
  
Zformulujte a dokažte větu o dimenzi jádra a hodnosti matice  
  
2. $A = \left(\begin{array}{rrrr}2 & 1 & 2 & -3\\1 & 2 & 2 & 1\\2 & 7 &6&7\end{array}\right), B = \left(\begin{array}{rrrr}3 & -1 & -1 & 1\\2 & 2 & -3 & 0\\1 & 5 &-5&-1\end{array}\right)$  
  
Rozhodněte, zda $Ker(A^{T}) = R (B^{T})$.
Rozhodněte, zda $Ker(B) = R (A)$.
  
3. Máme polynomy $v_{1} = x^{2} + x - 2, v_{2} = -2x^{2} + 3, v_{3} = 2x^{2} + x$. Uvažujme dvě lineární zobrazení $f,g: P^{2} \to R^{3}$ zadaná:  
- $f(v_{1})=(1,0,0)^{T}$,$\quad$
$f(v_{2})=(0,1,0)^{T}$,$\quad$
$f(v_{3})=(0,0,1)^{T}$ 
- $g(v_{1})=(1,2,3)^{T}$, $\quad$
$g(v_{2})=(1,-2,1)^{T}$, $\quad$
$g(v_{3})=(2,3,1)^{T}$
  
Spočítejte matici $[ g \circ f^{-1} ]_{kan \to B}$ kde $B$ je báze skládající se z vektorů $(1,1,-2)^{T}, (-2,0,3)^{T}, (2,1,0)^{T}$.  
  
Rozhodněte, zda $g \circ f^{-1}$ zobrazuje lineárně nezávislou množinu vždy zase na lineárně nezávislou množinu  
  
4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravidvá:  
  
a) Buď $A$ dolní trojůhelníková matice. Pak $A^{T}A$ je zase dolní trojúhelníková matice.  
  
b) Každou permutaci na $n$ prvcích lze zapsat jako složení maximálně $n - 1$ transpozic.  
  
c) Buď $A \in R^{m \times n}$. Pak $rank(A) = m \Leftrightarrow Ker(A) = {0}$
  
d) Lineární zobrazení $f : U \to V$ je "na", právě tehdy když libovolnou bázi $U$ zobrazí na bázi $V$
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="Alesak", timestamp=2011-02-10 16:04:17)}>
Nenapsal jsem to, měl jsem dost problémů... nemohl byste sem někdo v rámci tréninku vrazit řešení 3. příkladu?
<{/ForumPost}>