# Hladik 10.2.

<{ForumPost(poster="Jookyn", timestamp=2009-02-10 22:39:48)}>
Varianta B  
  
1. Uvažujme báze prostoru $R^3$  
$B_1: (2,1,1) , (3,2,3) , (4,3,6)$  
$B_2: (1,2,1) , (-1,0,3) , (1,-2,1)$,  
a lineární zobrazení $f: R^3 \to R^3$ definované maticí  
$_{B1}[f]_{B2} = ( 2 2 3 , -1 5 6 , 3 1 2)$  
Najděte ortogonální doplněk k $f(R^3)$.  
  
2. Zformulujte a dokažte Steinitzovu větu o výměně.  
  
3. Nad tělesem $Z_7$ uvažujme dva prostory U, V:  
U = { x náleží $Z_7^3 \mid x_1 + x2 + x3 = 0$ },  
V = \[ (2,3,5) , (5,1,0) ].  
Najděte bázi prostoru U + V a prostoru U průnik V.  
  
4. Rozhodněte a zdůvodněte, které z následujících tvrzení jsou pravdivé:  
(a) Pro každou čtvercovou matici A platí, že $A^2 = 0$ implikuje S(A) je podmnožina N(A).  
(b) To, že vektory u,v,w tvoří bázi prostoru V je podmínka nutná, ale ne postačující pro to, aby to byly generátory V.  
(c) Buď $f: R^n  \to R^n$ lineární zobrazení, jehož matice (vůci kanonické bázi) má hodnost $n$. Potom f je prosté.  
(d) Existují čísla x,y,u,v náleží R taková, že $(4x + 5y + 2u + 2v) > 7 * \sqrt{ x^2 + y^2 + u^2 + v^2}$.  
  
  
Řekl bych, že docela těžký, podle toho taky vypadaly známky po písemce - 13 x 5, 3 x 4, 3 x 3.  
  
BTW neptali jste se někdo Hladíka, jestli nebude nějakej termín v letnim semestru nebo v září?
<{/ForumPost}>