# Zkouška Fiala 9. 1. 2026

Maximální počet bodů: 48\
Čas: 90 minut (30 na rozstřel, 60 na zbytek, na zbytku můžete pracovat i během rozstřelu)\
Hodnocení:
1. 40-48b
2. 32-39b
3. 24-31b
4. 0-23b

Rozstřel je na 14 bodů, je z něj potřeba alespoň 10. Za 4 správné odpovědi v jedné úloze 2 body, za 3 správně a 1 nevím 1 bod. Z formulace věty v písemce samotné je potřeba alespoň 2 body ze 4.

Zadání rozstřelů viz hlavní stránka předmětu > Zkoušky 2026

## Skupina A

Druhá čast

1) Uveďte a dokažte Steinitzovu větu o výměně. (včetně lemmatu a jeho důkazu, pokud jej potřebujete).

2) Přehledově sepište, co víte o řešení homogenních a nehomogenních soustav lineárních rovnic.

3) Byly dány dvě báze $B$ a $C$ prostoru polynomů stupně nejvýše 2. Určete matici přechodu z $B$ do $C$, souřadnice vektoru $[\mathbf{v}]_B = (1, 1, 1)$ v bázi $C$ a vyjádřete tento vektor vůči standardní bázi jako funkci $x$.

4) Něco s grafem.

## Skupina B

Druhá část

1) Vyslovte a dokažte větu o charakterizaci matic isomorfismu.

2) Přehledově sepište, co víte o vektorových prostorech a jejich podprostorech.

3) Najděte permutaci $p$ a počet jejích inverzí, pokud p splňuje rovnost: $p=q^{66} \circ r$. Permutace jsou zadány pomocí druhého řádku tabulky, $p$ vyjádřit stejně.

4) Soustava rovnic zadaná rozšířenou maticí ve které je na levé straně na jednom místě parametr $a$ a na pravé straně parametr $b$, máme určit při jakých hodnotách parametrů $a$ a $b$ bude mít soustava $0$ řešení, právě $1$ řešení (v takovém případě vyjádřit vůči $a$ a $b$) a více řešení (v takovém případě určit kolik).