# Zkouška Fiala 19. 12. 2025

Maximální počet bodů: 48\
Čas: 90 minut (30 na rozstřel, 60 na zbytek, na zbytku můžete pracovat i během rozstřelu)\
Hodnocení:
1. 40-48b
2. 32-39b
3. 24-31b
4. 0-23b

Rozstřel je na 14 bodů, je z něj potřeba alespoň 10. Za 4 správné odpovědi v jedné úloze 2 body, za 3 správně a 1 nevím 1 bod. Z formulace věty v písemce samotné je potřeba alespoň 2 body ze 4.


## Skupina A

Rozstřel

1.  Homogenní soustava lineárních rovnic s pěti proměnnými o hodnosti 2 nad $Z_3$ má:
- 3 řešení
- 8 řešení
- dimenzi řešení 2
- 27 řešení

2.  Dimenze jádra nehomogenní soustavy se rovná:
- hodnosti matice soustavy
- počtu pivotů matice soustavy v odstupňovaném tvaru
- hodnosti rozšířené matice soustavy
- ??

3.  Podprostor prostoru $R^{3}$ je:
- $R^2$
- $Z^3$
- ${(x, y, z)^T, 2x+4y=0, x,y,z€R}$
- ??

4.  Nad tělesem $R^{3}$ jsou lineárně závislé:
- tři vektory t.ž. body jimi určené tvoří trojúhelník s jedním vrcholem v počátku
- rovina popsaná $x+y+z=1$
- tři vektory t.ž. jimi určené body tvoří přímku, která neprochází počátkem
- ?? (nějaké další dva vektory, myslím)

5.  Mezi axiomy grupy patří:
- pro každé $a \in G$ existuje $b \in G$: $a \circ b=b \circ a=e$, kde e je neutrální prvek
- existuje $b \in G$ pro každé $a \in G$: $a \circ b=b \circ a=e$, kde e je neutrální prvek
- existuje $e \in G$  pro každé $a \in G$ : $a \circ e=e \circ a=a$, kde e je neutrální prvek
- pro každé $a \in G$ existuje $e \in G$ : $a \circ e=e \circ a=a$, kde e je neutrální prvek

6. Pro dvě čtvercové matice stejné mohutnosti platí:
- pokud jsou A a B nenulové, je AB nenulové
- pokud jsou A a B nenulové, je A+B nenulové
- ??
- ??

7. ??

Druhá čast

1) Vyslovte a dokažte větu o vektorových prostorech souvisejících s maticí A.

2) Přehledově sepište vše, co víte o permutačních grupách.

3) Vyřešte soustavu n lineárních rocnic vzhledem k parametru p:

$px_1 +  x_2 +  x_3 + … + x_n = 2$

$x_1   + px_2 + x_3 + … + x_n = 2$

$x_1   + x_2 + px_3 + … + x_n = 2$

$.$
$.$
$.$

$x_1  +  x_2 + x_3 + … + px_n = 2$

4) Pro regulární matice A a B vyřešte nad $Z_5$ tuto maticovou rovnici $A(X + B)^{(-1)} = A^{T} - B$. Prvně obecně a pak pro konkrétní hodnoty A= ? a B= ? (byly to matice 2x2). Je matice X regulární?


## Skupina B

Rozstřel

Moc si to nepamatuji, ale třeba tam ještě někdo něco doplní 

1. 

2.

3.

4. Máme těleso Z_5, co platí:
- 
-
- číslo 4 je samo sobě inverzní 
-

5.

6.

7.
-
-
- 
-


??

Druhá část

1) Vyslovte a dokažte Steinitzovu větu (včetně lemmatu).

2) Přehledově sepište vše, co víte o tělesech.

3) Najděte permutaci $p$ a její znaménko, pokud p splňuje rovnost: $p \circ q^{(25)} = q^{T}$.

4) Mějme lineární zobrazení v $R^{2}$ jako osovou souměrnost podle přímky procházející počátkem a bodem [1,-1], k tomu byla báze B a úkolem bylo najít matici lineárního zobrazení [f] z B do B.